¿Hay alguna función positiva $f$ tal que $f(x)f(y)\leq |x-y|$ por cada $x$ racional y $y$ irracional?

Question

Se nos da una función de $f$ de reales positivos reales (no incluidas $0)$ satisfactorio $$f(x)f(y)\leq |x-y|$$ para cada número racional $x$ y el número irracional $y$. Hace esta función existe?

Si $f$ es continua, es fácil mostrar que $f$ debe ser una constante a la función cero (por Lo que no existe, en este caso).

De lo contrario, para un número irracional $y$ se puede demostrar que para cualquier secuencia $x_n$ racionales de la convergencia a la $y$, $f(x_n)$ converge a cero y lo mismo es cierto para el número racional $x$ y la secuencia de irrationals $y_n$.

¿Este argumento nos da ninguna información acerca de $f$, y qué decir si $f$ que existe en absoluto?

Answer 1

Vamos

$$A_k = \left\{ x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} : f(x) \leqslant \frac{1}{k} \right\}.$$

Deje $a \in \mathbb{Q}, k \in \mathbb{N}$. Para cada una de las $b \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ tenemos $\displaystyle f(b) \leqslant \frac{|b-a|}{f(a)}$, por lo que hay un abrir vecindario $U_a^{(k)} \subseteq \mathbb{R}$ $a$ tal que $U_a^{(k)} \setminus \mathbb{Q} \subseteq A_k$, es decir, $U_a^{(k)} = (a-r, a+r)$ donde $r = \frac{f(a)}{k}$.

La unión de $\displaystyle G_k = \bigcup_{a \in \mathbb{Q}} U_a^{(k)} \subseteq \mathbb{R}$ es un denso conjunto abierto tal que $G_k \setminus \mathbb{Q} \subseteq A_k$. Por lo tanto

$$\bigcap_{k=1}^{\infty} G_k \setminus \mathbb{Q} \subseteq \bigcap_{k=1}^{\infty} A_k,$$

por lo tanto, el conjunto de la derecha es comeager en $\mathbb{R}$, por lo que no puede ser vacío. Eso es una contradicción.

P. S. ¿usted viene para arriba con esta pregunta, el estudio de la (falta de) $\mathrm{T}4$ propiedad de la Moore avión?