Límite de trigonometría ' prueba s: $\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)+\sin(2x)+\cdots+\sin(kx)}{x}=\frac{k(k+1)}{2}$

Question

Cómo probar que $$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)+\sin(2x)+\cdots+\sin(kx)}{x}=\frac{k(k+1)}{2}$$ He intentado dividir la fracción múltiples y dividir cada nueva fracción con su $x$ factor, pero no funcionó. ex: $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)\cdot 2}{2\cdot x}=2$$

Answer 1

Que están tan cerca. Tenga en cuenta que \begin{align*} \frac{\sin(x)+\sin(2x)+\cdots+\sin(kx)}{x} &= \frac{\sin(x)}{x}+\frac{\sin(2x)}{x}+\cdots+\frac{\sin(kx)}{x} \\ &= \frac{\sin(x)}{x}+2\frac{\sin(2x)}{2x}+\cdots+k\frac{\sin(kx)}{kx} \\ &\to 1 + 2 + \cdots + k \\ &= \frac{k(k+1)}{2} \end{align*} como $x\to0$.

Sospecho que usted puede no haber podido terminar porque no reconocen la identidad $$ 1 + 2 + \cdots + k = \frac{k(k+1)}{2}. $$ Esta identidad tiene un muy lindo prueba. Set $S:=1+2+\cdots+k$. La adición de \begin{align*} 1 + 2 + \cdots + k &= S \\ k + (k-1) + \cdots + 1 &= S \\ \end{align*} da \begin{align*} \underbrace{(k+1)+(k+1)+\cdots+(k+1)}_{k\ \text{times}} = 2S. \\ \end{align*} Por lo tanto, $k(k+1)=2S$ y, en consecuencia, $$1+2+\cdots+k = S = \frac{k(k+1)}{2}.$$

Answer 2

Esta es la derivada en $0$ de la función $$ f(x)=\sin(x)+\sin(2x)+\dots+\sin(kx) $$ y $$ f'(x)=\cos(x)+2\cos(2x)+\dots+k\cos(kx) $$ Por lo tanto $$ f'(0)=1+2+\puntos+k $$ y ya está con el niño de Gauss truco.

^{Nota: Este no es el uso de l'Hôpital, pero la definición de la derivada y la regla de la cadena.}

Answer 3

Método de$\#1:$

Si $S=\sum_{r=1}^n\sin(rx),$

El Uso De Prosthaphaeresis Fórmula, $$S=\dfrac12\sum_{r=1}^n[\sin(rx)+\sin(n+1-r)x]=\sin\dfrac{(n+1)x}2\sum_{r=1}^n\cos\dfrac{(n+1-2r)x}2$$

Ahora uso $\lim_{h\to0}\dfrac{\sin h}h=\lim_{h\to0}\cos h=1$

Método de$\#2:$

Uso ¿Cómo podemos resumir $\sin$ $\cos$ serie cuando los ángulos están en progresión aritmética?

y fuera de curso $\lim_{h\to0}\dfrac{\sin h}h=1$