¿Son realmente equivalentes las variedades lisas difeomórficas?

Question

Parece ser una afirmación "folclórica" que se repite a menudo, que el difeomorfismo es una relación de equivalencia en las variedades suaves, y que dos variedades suaves que son difeomorfas son indistinguibles en términos de sus atlas suaves.

Sin embargo, hay un extraño contraejemplo en la Introducción a las Múltiples Suaves de Lee, definamos dos variedades suaves modeladas en la línea real.

Dejemos que $\mathcal A$ sea un atlas suave maximal en $\mathbb{R}$ que genera el gráfico global $\varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ , $\varphi(x)=x$ y que $\bar{\mathcal A}$ sea el atlas liso máximo en $\mathbb{R}$ generado por el gráfico global $\bar{\varphi}(x)=x^3$ .

La función de transición $\varphi\circ\bar{\varphi}^{-1}$ no es suave, por lo que estas dos estructuras suaves son incompatibles.

Sin embargo, el mapa $F:(\mathbb{R},\mathcal A)\rightarrow(\mathbb{R},\bar{\mathcal{A}})$ dado por $F(x)=x^{1/3}$ es un difeo, porque $$ (\bar{\varphi}\circ F\circ \varphi^{-1})(x)=x, $$ y este mapa es suave.

Así que los colectores lisos $(\mathbb{R},\mathcal A)$ y $(\mathbb{R},\bar{\mathcal{A}})$ son difeomórficas. Sin embargo, las dos variedades tienen estructuras lisas incompatibles y, por tanto, diferentes.

Pregunta: Creo que no tengo una pregunta clara, sino que estoy algo confundido. Porque esto es un contraejemplo Parece que probar que la afirmación "dos variedades difeomorfas no pueden distinguirse por sus estructuras lisas" es errónea.

Sin embargo, cómo ¿se equivoca? ¿Podemos considerar equivalentes los dos colectores dados en este ejemplo? ¿Hay alguna diferencia práctica entre ambos? ¿Es la geometría diferencial la misma en ellos?

Answer 1

El contraejemplo sólo muestra que dos estructuras lisas difeomorfas en el mismo conjunto $X$ no necesitan compartir un atlas común. Sin embargo, en cualquier caso, dos estructuras difeomórficas no puede se distinguen en la categoría lisa, en el sentido de que toda afirmación verdadera en la categoría lisa sigue siendo verdadera después de sustituir una estructura por la otra.

Esto también ocurre en la categoría topológica: es posible tener dos estructuras topológicas homeomórficas, pero diferentes, en un conjunto $X$ . Por ejemplo, las dos topologías en $\mathbb{R}$ dado por $$\mathcal{T}_1 = \{[a, \, + \infty) \; : \; a \in \mathbb{R} \cup \{-\infty\} \}, \quad \mathcal{T}_2 = \{(- \infty, \, a] \; : \; a \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\} \}$$ son claramente diferentes. Sin embargo, el mapa $$f \colon (\mathbb{R}, \, \mathcal{T}_1) \to (\mathbb{R}, \, \mathcal{T}_2), \quad x \mapsto -x$$ es un homeomorfismo, por lo que desde el punto de vista topológico los dos espacios tienen exactamente las mismas propiedades.

Answer 2

Esto no es nada específico de las variedades diferenciables. Si se tiene algún conjunto $X$ y se define alguna estructura en $X$ (por ejemplo, grupo, espacio vectorial, espacio topológico, colector diferenciable, ...) hay muchas maneras de hacerlo. Pero no todas estas formas son diferentes, o mejor, no todas las diferencias son importantes en todo momento.

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Ejemplo 1 : Toma $X=\{0,1\}$ . Podemos definir una estructura de grupo en $X$ a través de

$$0+0=0,\quad 0+1=1,\quad 1+0=1,\quad 1+1=0.$$

Quizá sepas que ésta es la única estructura de grupo (hasta el isomorfismo) que puede existir en un conjunto de dos elementos. Sin embargo, nadie puede impedir que defina

$$0+0=1,\quad 0+1=0,\quad 1+0=0,\quad 1+1=1$$

en su lugar. Ahora afirmo que ésta es otra estructura porque es incompatible con la primera: ésta tiene $1$ como su elemento neutro, el otro tiene $0$ . Pero están vinculados por un simple isomorfismo: el intercambio de $0\leftrightarrow1$ . De hecho, los grupos son los mismos en el sentido de que el intercambio de $0$ y $1$ no supone una diferencia esencial.

Ejemplo 2 : El subespacio lineal de $\Bbb R^3$ abarcados por $(0,0,1)$ y $(0,1,0)$ es muy diferente de la que abarca $(1,0,0)$ y $(0,1,0)$ porque contiene diferentes vectores. Y esto es cierto desde el punto de vista de la teoría de conjuntos. Pero son idénticos como espacios vectoriales, porque ambos son de dimensión dos. Sólo hay que estudiar uno de ellos.

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Lo mismo ocurre con su ejemplo. Francesco lo ha explicado bien. Tus dos atlas (incompatibles) no son más que dos formas de definir la misma variedad diferenciable. Los dos ejemplos son diferentes desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, pero esta diferencia no es importante en la categoría de las variedades diferenciables. Que son iguales se puede ver por el difeomorfismo que has proporcionado. Cuando hayas estudiado uno de ellos, habrás aprendido todo lo que hay que saber sobre ambos (desde el punto de vista de las variedades diferenciables).

Answer 3

Hay que tener en cuenta que la relación de equivalencia en las variedades diferenciales está definida por la existencia de un difeomorfismo entre las dos variedades. Esta definición no requiere que tu función favorita sea un difeomorfismo, ni la función favorita de nadie. La definición sólo requiere que algunos sea un difeomorfismo.

Por ejemplo, $(\mathbb{R},\mathcal{A})$ y $(\mathbb{R},\tilde{\mathcal{A}})$ son difeomorfos a pesar de que el mapa de identidad en $\mathbb{R}$ no es un difeomorfismo. La definición de ser difeomorfo no requiere que el mapa de identidad en $\mathbb{R}$ sea un difeomorfismo (que es lo que significa para los atlas $\mathcal{A}$ y $\tilde{\mathcal{A}}$ para ser compatible). Lo que la definición hace requieren es que alguna función sea un difeomorfismo, y la función $F(x)=x^{1/3}$ hace el truco.

Answer 4

Dices: "Sin embargo, las dos variedades tienen estructuras lisas incompatibles y, por tanto, diferentes".

¿Incompatible en qué sentido? Creo que inconscientemente estás considerando estos dos (!) diferentes colectores como uno y el mismo ya que están definidos en el mismo conjunto de puntos. Mi consejo es que los consideres como dos conjuntos/espacios diferentes $\mathbb R_1$ y $\mathbb R_2$ (que tienen la misma cardinalidad y la misma topología) con alguna estructura topológica y diferencial definida en cada una de ellas. Entonces todo lo que estás diciendo es que un mapeo $f(x) = x$ no funciona pero otro $g(x) = x^{1/3}$ sí. Eso no debería considerarse una gran sorpresa, ¿verdad?

Así que su problema aquí parece sólo un problema de percepción...