Cómo probar esta desigualdad $a^2+b^2+c^2+8(ab+bc+ac)+3-10(a+b+c)\ge 0$

Question

deje $a,b,c\ge 0$,y tal $abc=1$,muestran que

$$a^2+b^2+c^2+8(ab+bc+ac)+3-10(a+b+c)\ge 0$$

Mi solución: Sin pérdida de generalidad,supongamos que

$a=\max{(a,b,c)}$, ya que el $abc=1$,tenemos $a\ge 1$,

vamos a mostrar que $$f(a,b,c)\ge f(a,t,t)\ge 0, t=\sqrt{bc},0<t\le 1$$

desde $$f(a,b,c)-f(a,t,t)=(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2[(\sqrt{b}+\sqrt{c})^2+8a-10]$$ a continuación, equivalente a $$(\sqrt{b}+\sqrt{c})^2+8a\ge 10$$ lo cual es cierto porque $$(\sqrt{b}+\sqrt{c})^2+8a\ge 4\sqrt{bc}+8a=4(a+\sqrt{bc})+4a\ge 8\sqrt{a\sqrt{bc}}+4a=8\sqrt[4]{a}+4a\ge 12$$

Ahora,desde la $a=\dfrac{1}{t^2}$,tenemos $$f(a,t,t)=f(\dfrac{1}{t^2},t,t)=\dfrac{(10t^4-7t^2+2t+1)(t-1)^2}{t^4}$$ lo que es claramente positivo porque

$$10t^4-7t^2+2t+1=(3t^2-1)^2+t(1-t)+t^4+t>0$$

Ha bueno de otros métodos? Gracias

Answer 1

Deje $f(x) = x^2+\dfrac8x + 1 - 10x + 16 \log x$$x > 0$.
A continuación, dada la desigualdad es $f(a)+f(b)+f(c) \ge 0$, y es suficiente para mostrar $f(x) \ge 0$.

Tomamos nota de $f'(x) = \dfrac{2(x-2)^2 (x-1)}{x^2}$.
Así, por $x < 1, f'(x)<0$$x > 1, f'(x) \ge 0$. Por lo tanto $\forall x >0, \; f(x) \ge f(1) = 0$.