mcd Cálculos

Question

Deje $a, b, c$ ser números enteros. Probar que si $\gcd(a,b)=1$ $\gcd(ab,c) = \gcd(a,c) \gcd(b,c)$

Primera vez preguntando aquí. No estoy seguro de lo que sus políticas son en general ayuda con la tarea, pero yo realmente estoy atascado.

Hasta ahora he mostrado $\gcd(a,c) \gcd(b,c)$ como un entero combinación de $ab$$c$. Así que si puedo demostrar que $\gcd(a,c) \gcd(b,c)$ divide $ab$ $c$ I puede utilizar la prueba de que si un entero $d$ es un divisor común de a$a$$b$, e $d=ax+by$ algunos $x$$y$,$d=\gcd(a,b)$. Sin embargo, yo realmente no sé por dónde empezar con este. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Voy a escribir $(m,n)$ $\text{gcd}(m,n)$ en todo lo que sigue.

Quiere mostrar que $(a,c)(b,c) \mid ab, c$. A partir de la definición de $(m,n)$, es fácil mostrar que $(a,c)(b,c) \mid ab$ (desde $(a,c) \mid a$$(b,c) \mid b$). Lo que realmente se reduce a mostrar que la $(a,c)(b,c) \mid c$.

Desde $(a,c), (b,c) \mid c$, puede escribir $c = r(a,c) = s(b,c)$ para algunos enteros $r$$s$. Por lo tanto, para demostrar que $(a,c)(b,c) \mid c$, es suficiente para demostrar que $(b,c) \mid r = c/(a,c)$. Esto es equivalente a mostrar que la $p \nmid (a,c)$ para cualquier número primo dividiendo $(b,c)$. Esto se deduce de la $a$ $b$ coprime. (Por qué?)

Answer 2

Imaginar la factorización prima de $a$ y la factorización en primos de $b$. Los números primos en $a$ son todos diferentes de los de $b$ (debido a $a$ $b$ son coprime).

Piense acerca de lo que GCD. Es cherry-picks el común de los números primos de los insumos y multiplica juntos. Si $a$ $b$ contienen completamente diferentes de los números primos entre sí, entonces la separación de la DPC en los dos MCD no tiene efecto.

Tratar de formular una prueba de esto.
Buena suerte