Suma de dos funciones periódicas

Question

Dejemos que $f$ y $g$ sean dos funciones periódicas sobre $\Bbb{R}$ con la siguiente propiedad: Si $T$ es un periodo de $f$ y $S$ es un periodo de $g$ entonces $T/S$ es irracional.

Conjetura : $f+g$ es pas periódico.

¿Podría dar una prueba o un contraejemplo? Es más fácil si asumimos la continuidad. Pero, ¿es cierto para funciones de valor real arbitrarias?

Answer 1

He aquí un contraejemplo. Sea $a, b, c \in \mathbb{R}$ sean linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$ . Sea $\text{span}(x, y, z, ...)$ sea el $\mathbb{Q}$ -espacio vectorial en $\mathbb{R}$ abarcados por $x, y, z, ...$ . Sea $AB = \text{span}(a, b), BC = \text{span}(b, c), AC = \text{span}(a, c)$ . Y para un subconjunto $S$ de $\mathbb{R}$ , dejemos que $\chi_S$ denotan la función característica de $S$ . Ahora defina

$\displaystyle f(x) = \chi_{AB} - 2 \chi_{BC}$

y

$\displaystyle g(x) = 3 \chi_{AC} + 2 \chi_{BC}.$

Entonces $f$ tiene el periodo fijado $\text{span}(b)$ , $g$ tiene el periodo fijado $\text{span}(c)$ y $f + g$ tiene el periodo fijado $\text{span}(a)$ . (No estoy seguro de que los coeficientes sean necesarios; sólo son precauciones).

¿Sigue interesado en el caso continuo?

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(Respuesta antigua a continuación. He malinterpretado ligeramente la pregunta cuando la escribí).

He aquí un ejemplo más sencillo. Afirmo que la función $h(x) = \sin x + \sin \pi x$ no es posible que sea periódico. ¿Por qué? Supongamos una ecuación de la forma

$\sin x + \sin \pi x = \sin (x+T) + \sin \pi (x+T)$

celebrada para todos $x$ y algunos $T > 0$ . Tome la segunda derivada de ambos lados con respecto a $x$ para conseguir

$\sin x + \pi^2 \sin \pi x = \sin (x+T) + \pi^2 \sin \pi(x+T).$

Esto implica que $\sin x = \sin (x+T)$ y que $\sin \pi x = \sin \pi(x+T)$ , lo cual es imposible.

(¿O es la cuestión de si la suma puede ser periódica).

Answer 2

Elige una base $B$ de $\mathbb R$ como $\mathbb Q$ espacio vectorial, y dividirlo en dos partes disjuntas no vacías $B_1$ y $B_2$ . Definir $\mathbb Q$ -Mapas lineales $f,g:\mathbb R\to\mathbb R$ tal que $f(x)=x$ y $g(x)=0$ si $x\in B_1$ , $f(x)=0$ y $g(x)=x$ si $x\in B_2$ . Entonces $f(x)+g(x)=x$ para todos $x\in B$ para que de hecho $f+g=\operatorname{id}_{\mathbb R}$ que no es una función periódica. Además $f$ y $g$ son periódicos, y sus conjuntos de períodos son precisamente $B_1$ y $B_2$ . Desde $B_1\cup B_2$ es linealmente independiente sobre $\mathbb Q$ es fácil ver que $x/y\not\in\mathbb Q$ siempre que $x\in B_1$ y $y\in B_2$ .

Se trata entonces de un ejemplo en el que la suma no es periódica.

Answer 3

Si cada función tiene un período más pequeño, y por lo demás se ajusta a las condiciones, entonces se puede obtener una prueba intentando calcular el período más pequeño de la suma y fallando. Sin embargo, las cosas se complican si no hay un periodo mínimo, como en el caso de la función característica de los racionales. En este caso se podría avanzar descomponiendo dicha función como una suma infinita de funciones periódicas, o al menos dar más contraejemplos para estudiar. (Por ejemplo, escribir la función característica de los racionales como una suma infinita de funciones de período mínimo 1. )

Answer 4

Como primer paso, si $f+g$ es periódico el periodo no puede ser racional respecto al periodo de $f$ y $g$ .

Supongamos que $T$ es el período más pequeño de $f(x)$ es decir, para todos los $x$ , $f(x+T) = f(x)$ .igualmente $S$ es el período más pequeño de $g(x)$ es decir, para todos los $x$ , $g(x+S) = g(x)$ . Si $f+g$ tuvo un periodo $Q$ y $\frac{Q}{T} = \frac{m}{n}$ tenemos que para todo $x$ , $f(x+nQ)+g(x+nQ) = f(x)+g(x)$ . Pero $f(x+nQ)=f(x+mT)=f(x)$ Así, para todos los $x$ , $g(x+nQ)=g(x)$ y por lo tanto $nQ$ es un período de $g$ lo cual es imposible ya que significaría que $\frac{T}{S}$ es racional.