Contraejemplo de Sobolev de Incrustación Teorema?

Question

Hay un contraejemplo de Sobolev de Incrustación Teorema? Más precisamente, por favor me ayudan a construir una función de sobolev $u\in W^{1,p}(R^n),\,p\in[1,n)$ tal que $u\notin L^q(R^n)$ donde $q>p^*:=\frac{np}{n-p}$.^-^

Answer 1

Aquí es cómo usted puede hacer esto en la unidad de la bola de $\{x | \|x \| \le 1\}$: Set $u(x) = \|x\|^{-\alpha}$. A continuación, $\nabla u$ es fácil de encontrar. Ahora usted puede calcular el $\|u\|_{L^q}$ $\|u\|_{W^{1,p}}$ usando coordenadas polares. Jugar hasta el $L^q$ norma es infinito, mientras que el $W^{1,p}$ norma es todavía limitado.