Cálculo de la suma mediante el uso de residuos de la teoría de la

Question

Estoy estudiando un ejemplo sobre el cálculo de una suma mediante el uso de residuos de la teoría. Entiendo cómo calcular la suma en general -en el marco de la solución de manera-, pero no sé cómo algunas partes de la solución. Voy a escribir la pregunta y la respuesta, por favor explique me estas partes de la solución que yo no entiendo. Gracias:)

pregunta:

$$\sum _{n=0}^{\infty}\binom{3n}{2n}\frac{1}{8n}=$$ $$ \frac{1}{2\pi i} \sum_{n=0}^{\infty}\int_{C_R}\frac{(1+z)^{3n}}{z^{2n+1}}\frac{1}{8^n}dz=\frac{1}{2\pi i}\int_{C_R}\sum_{n=0}^\infty [\frac{(1+z)^3}{8z^2}]^n\frac{1}{z}dz=\frac{1}{2\pi i} \int _{C_R}\frac{1}{1-\frac{(1-z)^3}{8z^2}}\frac{1}{z}dz =\frac{1}{2\pi i} \int_{C_R}\frac{8z^2}{8z^2-(1-z)^3}\frac{dz}{z}$$

$$=\frac{1}{2\pi i} \int_{C_R}\frac{8z}{8z^2-(1-z)^3}dz$$

Entiendo hasta ahora.

Ahora, trato de encontrar singularidades, pero no sé cómo encontrar estas singularidades.

Sus singularidades se $-0.2$ $4.2=2+\sqrt{5}$ (Cómo encontrar?)

Ahora, suma que se encuentra, sin Embargo, yo no entiendo nada de la parte siguiente

Por favor explique especial aquí en una forma clara

(i) $0\lt R\lt 2-\sqrt{5}$ , Sin residuo insinde C, suma $=0$ (No su respuesta)

(ii) $|2-\sqrt{5}|\lt R\lt 1$ sólo un residuo de insinde, sum$=\frac{8-4\sqrt{5}}{\sqrt{5}-5} =0.34$ (no su respuesta)

(iii) $1\lt R\lt 2+\sqrt{5}$ dos residuos de suma $=\frac{2(1+\sqrt{5})}{5-\sqrt{5}}=2.34$ (su respuesta)

(iv) $R\gt 2+\sqrt{5}$ tres residuos de suma $ =0$ (No su respuesta)

Answer 1

Usted tiene un cúbicos en el denominador:

$$8 z^2-(1-z)^3 = z^3+5 z^2+3 z-1$$

Usted debe ser capaz de ver que $z=-1$ es una raíz de este cúbicos por inspección. Por división sintética, se verá que

$$z^3+5 z^2+3 z-1 = (z+1)(z^2+4 z-1)$$

Así, vemos que los otros polos están en $z_{\pm}=-2\pm\sqrt{5}$. Ahora uso el hecho de que

$$\operatorname*{Res}_{z=z_0} \frac{8 z}{z^3+5 z^2+3 z-1} = \frac{8 z_0}{3 z_0^2+10 z_0+3}$$

poste de $z=z_0$. En cada polo:

$$\operatorname*{Res}_{z=-1} \frac{8 z}{z^3+5 z^2+3 z-1} = 2$$ $$\operatorname*{Res}_{z=\sqrt{5}-2} \frac{8 z}{z^3+5 z^2+3 z-1} = \frac{3}{\sqrt{5}}-1$$ $$\operatorname*{Res}_{z=-\sqrt{5}-2} \frac{8 z}{z^3+5 z^2+3 z-1} = -\frac{3}{\sqrt{5}}-1$$

Si estos polos de contribuir a la integral, como dices, depende de $R$:

$$0 < R < \sqrt{5}-2 \implies 0$$ $$\sqrt{5}-2 < R < 1 \implies \frac{3}{\sqrt{5}}-1$$ $$1 < R < \sqrt{5}+2 \implies \frac{3}{\sqrt{5}}-1 + 2 = \frac{3}{\sqrt{5}}+1$$ $$R > \sqrt{5} + 2 \implies \frac{3}{\sqrt{5}}-1 + 2 - \frac{3}{\sqrt{5}}-1 = 0$$

Esto es esencialmente lo que usted dice.