Tengo una prueba de la siguiente desigualdad que depende de algo desordenada álgebra. Me gustaría aprender a probarlo en una forma más elegante.
Para números positivos: $$\frac{x}{4x+4y+z} + \frac{y}{4y+4z+x}+\frac{z}{4z+4x+y}\le \frac13$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Wlog, podemos suponer que $x+y+z = 3$. Así, la desigualdad, $$\frac{x}{4x+4y+z} + \frac{y}{4y+4z+x}+\frac{z}{4z+4x+y}\le \frac13$$
$$\iff \sum\limits_{cyc} \frac{x}{4-z} \le 1 \iff \sum\limits_{cyc} x(4-x)(4-y) \le \prod\limits_{cyc} (4-x)$$
$$\iff x^2y+y^2z+z^2x +xyz \le 4$$
Supongamos, ahora wlog que, $max\{x,z\} \ge y \ge \min\{x,z\}$.
A continuación, $$z(x-y)(z-y) \le 0 \iff y^2z+xz^2 \le xyz + yz^2$$
Así, queda por demostrar que, a $$x^2y + yz^2 +2xyz \le 4 \iff y(x+z)^2 \le 4 \iff y(3-y)^2 \le \frac12\left(\frac{6-2y+2y}{3}\right)^3$$
por AM-GM de la desigualdad.
Edit: Bueno, hay otro pequeño y lindo observación acerca de la forma OP y David H (en el comentario), escribe la desigualdad, que podrían reducir el esfuerzo de cálculo: $$0 \le 4(x^3+y^3+z^3) + 12(x^2z+xy^2+yz^2) - 15(x^2y+xz^2+y^2z) - 3xyz$$
$$\iff 12\left(\sum\limits_{cyc} x^2y - \sum\limits_{cyc} xy^2\right) \le 3\left(\sum\limits_{cyc} x^3 - \sum\limits_{cyc}x^2y\right) + \left(\sum\limits_{cyc} x^3 - 3xyz\right)$$
$$\iff 12(x-y)(x-z)(y-z) \le \sum\limits_{cyc} (2z+z)(y-z)^2+\frac12(x+y+z)\sum\limits_{cyc} (y-z)^2$$
$$\iff 12(x-y)(x-z)(y-z) \le \sum\limits_{cyc} \left(2y+z+\frac12(x+y+z)\right)(y-z)^2$$
La observación de que $(x-y),(y-z)$ $(z-x)$ permanecen invariantes bajo las transformaciones:
$x \mapsto x-t$ , $y \mapsto y-t$ y $z \mapsto z-t$
Esto es suficiente para demostrar la desigualdad para el caso de que los términos en el lado derecho es minimizado, es decir, cuando dejamos $t = \min\{x,y,z\} = 0$.
Wlog, si $z=\min\{x,y,z\}$, entonces se reduce el $x^2y+y^2z+z^2x +xyz \le 4$ a probar $x^2y \le 4$ bajo la condición de $x+y=3$, lo que sigue a partir de la Am-Gm como de costumbre.
