Deje $G$ $H$ dos grupos. ¿Qué sería de una "natural homomorphism" de$G$$G\times H$?
Mi libro se menciona que uno puede asignar natural homomorphisms de$G$$H$$G\times H$, pero no entiendo la declaración. Qué significa que yo mapa de $g\to (g,e_H)$?
Respuesta
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Dan Rust
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Sí, el mapa de $\varphi_G\colon G\to G\times H$ es el que se asigna el elemento $g\in G$ para el elemento $(g,e_H)$ donde $e_H\in H$ es el elemento de identidad de $H$. A la pregunta de por qué esto es un 'natural' mapa es una buena. Tal vez la más esclarecedora respuesta, aunque conceptualmente más complejo, es que este es precisamente el mapa, que está dada por el universal de la propiedad de los productos en la categoría de grupos de $\mathbf{Grp}$ para el mapa de identidad en $G$ y el trivial mapa de$G$$H$.
En particular, tenemos el siguiente teorema.
Teorema. Para cualquiera de los dos grupos $G$$H$, existe un grupo de $K$ y homomorphisms $\pi_G\colon K\to G$ $\pi_H\colon K\to H$ tal que para cualquier otro grupo de $L$ y homomorphisms $f_G\colon L\to G$$f_H\colon L\to H$, no existe un único homomorphism $f\colon L\to K$ con la propiedad de que $\pi_G\circ f=f_G$$\pi_H\circ f=f_H$.
Esto se conoce como el universal de la propiedad de los productos, y probablemente haya adivinado por ahora, que el grupo $K$ en la definición anterior es sólo el grupo de $G\times H$ (o es isomorfo a ella) y la homomorphisms $\pi_G$ $\pi_H$ son las habituales proyecciones sobre los factores de $G\times H$. Es debido a esto que muchas personas toman esto para ser la definición del producto, en lugar de sólo como una propiedad que el producto satisface (esto se convierte en una importante interpretación cuando la abstracción del concepto de un producto a otras colecciones de 'objetos' y 'mapas')
Ahora, considere el homomorphisms $\mbox{Id}_G\colon G\to G$, la identidad homormohpism, y $t\colon G\to H$, el trivial de morfismos de asignación de todos los elementos para el elemento de identidad en $H$ - estas son algunas de las que sólo homomorphisms que podemos garantizar existen de $G$ $G$(resp. $H$) para grupos arbitrarios (también tenemos el trivial mapa de $G\to G$, lo que daría lugar a la trivial mapa de $G\to G\times H$ a través de la universal de los bienes).
Por el teorema anterior, debe existir un único mapa $\varphi_G\colon G\to G\times H$ tal que $\pi_G\circ \varphi_G=\mbox{Id}_G$$\pi_H\circ \varphi_G=t$. Usted puede fácilmente comprobar que el mapa de $g\mapsto (g,e_H)$ cumple con estas condiciones, por lo que este mapa surge 'naturalmente' casi directamente a partir de la definición de las características del producto. Intercambio de $G$ $H$ en todo lo anterior le dará el mismo para los naturales mapa de $H\to G\times H$.
