(2006) Conceptos de Genética.

Question

Deje $V$ a (co)de la cadena de complejos, y deje $Sym(V)$ ser el libre diferencial gradual conmutativa álgebra generada por $V$. Definición y ejemplos siguientes en caso de que usted no sabe a qué me refiero.

Pregunta: ¿Cuál es el más limpio de la prueba de que $H^*(Sym(V)) \cong Sym(H^*(V))$?

Todas mis pruebas son un poco desordenado, utilizando la clasificación en Sym(V) procedentes de cohomological de clasificación y medida por el número de productos. Aunque espero que todas las pruebas para el uso de este bigrading, limpio, sucinto de la prueba sería muy apreciada!

Definición: $Sym(V)$ es el libre dg tensor de álgebra en $V$, modded por la relación $v_1 v_2 = (-1)^{|v_1| |v_2|} v_2 v_1$. El diferencial está dado por la regla de Leibniz: $d(uv) = (du)v + (-1)^{|u|}u dv$.

Ejemplo: Si $V$ se concentra en el grado 0, $Sym(V)$ es la usual libre de álgebra conmutativa generado por $V$. Si $V$ se concentra en incluso grados, en el espacio vectorial de $Sym(V)$ es la usual libre de álgebra conmutativa, sino $Sym(V)$ tiene una calificación donde $|v_1 \ldots v_n| = |v_1| + \ldots + |v_n|$. El diferencial es cero por la regla de Leibniz.

Ejemplo: Si $V$ se concentra en impar grados, $Sym(V)$ ha subyacente espacio vectorial dado por el exterior de álgebra generada por $V$. No tiene diferencias según la regla de Leibniz, pero ha de calificación $|v_1 \ldots v_n| = |v_1| + \ldots + |v_n|$.

Answer 1

Esto requiere de algún tipo de suposición sobre el terreno de anillo, o en $V$ o ambos. Considere, por ejemplo, el suelo anillo de $\mathbb Z/2$ y el complejo de $V = \{a\to da\}$ donde $a$ tiene el grado $n>1$. Entonces, claramente $Sym(H^*(V))$ $\mathbb Z/2$ en grado cero. Pero, $a^2$ representa un no-cero de la clase en $H^{2n}(Sym(V))$. Usted debe asumir que el campo de tierra ha de característica cero.

Edit: Por inducción puede demostrar que el resultado teniendo en cuenta la filtración $Sym^n(V) = \bigoplus_{i=0}^n V^{\otimes n}/\Sigma_n$. Entonces, el cociente $Sym^{n+1}(V)/Sym^n(V) = V^{\otimes (n+1)}/\Sigma_{n+1}$, e $\mathbb k$ es un proyectiva $\mathbb k [\Sigma_{n+1}]$ módulo, lo $H^*(V^{\otimes (n+1)}/\Sigma_{n+1}) \cong H^*(V)^{\otimes (n+1)}/\Sigma_{n+1}$. Ahora inducción le dice que $H^*(Sym^n(V)) \cong Sym^n(H^*(V))$, y por lo tanto el resultado.