¿Es el número de primeras ideales de un anillo cero dimensional estable bajo cambios de base?

Question

Deje $A$ ser un cero-dimensional anillo finito de tipo a través de un campo de $k$ y deje $X= \textrm{Spec} \ A$ ser de su espectro. Tenga en cuenta que $X$ es un conjunto finito.

Supongamos que $k\subset K$ es un campo finito de extensión y deje $Y = X \times_k K$. Es decir, $Y=\textrm{Spec} ( A\otimes_k K)$.

Pregunta. Es $\textrm{card} \ Y \leq [K:k]\textrm{card} \ X$?

Ejemplo. Tomar $k=\mathbf{R}$, $A=\textrm{Spec} (\mathbf{R}[x]/(x^2+1))$ y $K=\mathbf{C}$. Tenga en cuenta que $X$ es un singleton en este caso y $Y$ se compone de los puntos de $i$$-i$.

Ejemplo. Tome $k=A=\mathbf{R}$$K=\mathbf{C}$. En este caso, ambos $X$ $Y$ son los únicos.

Answer 1

Sí. Recordar este hecho importante:

Teorema. Deje $A \to B$ ser un anillo homomophism. Si $B$ puede ser generado por $n$ elementos como un $A$-módulo, a continuación, cada fibra de $\operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A$ tiene cardinalidad no mayor de $n$.

Prueba. Deje $P$ ser una de las primeras de $A$. La fibra de $P$ es el espectro de $B \otimes_A k(P)$. Está claro que $B \otimes_A k(P)$ tiene dimensión $\leq n$$k(P)$. Por lo tanto, si sustituimos $A$$k(P)$$B$$B \otimes_A k(P)$, podemos asumir que $A$ es un campo y $B$ es finita $A$-álgebra.

Deje $Q_1, \dots, Q_r$ ser los primos de $B$. Desde $B$ es un artinian anillo, $Q_i$ es maximal, luego por el Teorema del Resto Chino el mapa de $B \to B / Q_1 \times \cdots \times B / Q_r$ es surjective. El cómputo de la dimensión, tenemos $n \geq \dim_A B \geq \sum_{i=1}^r \dim_A B/ Q_i \geq r$. $\square$

Ahora, en su caso, $A \otimes_k K$ puede ser generado como un $A$-módulo por un conjunto de cardinalidad $\leq [K : k]$.