¿Cómo determinar si una función es uno a uno?

Question

Estoy buscando la "mejor" manera de determinar si una función es uno a uno, ya sea algebraicamente o con cálculo. Sé que un método común, aunque discutiblemente poco confiable para determinar esta respuesta sería graficar la función. Sin embargo, esto puede resultar ser un método arriesgado para encontrar tal respuesta ya que depende en gran medida de la precisión de tu calculadora gráfica, tu zoom, etc...

¿Cuál es el mejor método para encontrar que una función es uno a uno?

En tu descripción, ¿podrías por favor elaborar mostrando que puede probar lo siguiente:

• $\frac{x-3}{x+2}$ es uno a uno.

• $\frac{x-3}{x^3}$ no es uno a uno.

Answer 1

Para mostrar que $f$ es 1-1, podrías mostrar que $$f(x)=f(y)\Longrightarrow x=y.$$ Entonces, por ejemplo, para $f(x)={x-3\over x+2}$:

Supongamos ${x-3\over x+2}= {y-3\over y+2}$. Entonces: \begin{align*} &{x-3\over x+2}= {y-3\over y+2} \\ \Longrightarrow& (y+2)(x-3)= (y-3)(x+2)\\ \iff& yx+2x-3y-6= yx-3x+2y-6\\ \iff&2x-3y =-3x+2y\\ \iff&2x+3x =2y+3y\\ \iff&5x =5y\\ \iff&x=y \end{align*} Entonces $f(x)={x-3\over x+2}$ es 1-1.

Dejaré que muestres que $f(x)={{x-3}\over 3}$ es 1-1 por ti.

Alternativamente, para mostrar que $f$ es 1-1, podrías mostrar que $$x\ne y\Longrightarrow f(x)\ne f(y).$$

O, para una función diferenciable $f$ cuya derivada es siempre positiva o siempre negativa, puedes concluir que $f$ es 1-1 (también podrías concluir que $f$ es 1-1 para ciertas funciones cuyas derivadas tienen ceros; tendrías que asegurarte de que la derivada nunca cambie de signo y que $f$ no sea constante en ningún intervalo).

Descubrirás que una función $g$ no es 1-1, si, al usar el primer método anterior, encuentras que la ecuación se satisface para algún $x\ne y$. Por ejemplo, toma $g(x)=1-x^2$. Luego

$$ \eqalign{ &g(x)=g(y)\cr \iff&{1-x^2}= {1-y^2} \cr \iff&-x^2= -y^2\cr \iff&x^2=y^2\cr} $$ La ecuación anterior tiene $x=1$, $y=-1$ como solución. Entonces, hay $x\ne y$ con $g(x)=g(y)$; por lo tanto, $g(x)=1-x^2$ no es 1-1.

Por supuesto, para mostrar que $g$ no es 1-1, solo necesitas encontrar dos valores distintos del valor de entrada $x$ que den el mismo valor de salida en $g$.

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Aunque señalas acertadamente que el método gráfico es poco confiable; aún es instructivo considerar los métodos utilizados y por qué funcionan:

Gráficamente, puedes usar cualquiera de los siguientes:

1. Usa la "Prueba de la Línea Horizontal":

$f$ es 1-1 si y solo si cada línea horizontal intersecta el gráfico de $f$ en como máximo un punto. Ten en cuenta que esta es solo la interpretación gráfica de "si $x\ne y$ entonces $f(x)\ne f(y)$"; ya que los puntos de intersección de una línea horizontal con el gráfico de $f$ dan valores de $x$ para los cuales $f(x)$ tiene el mismo valor (es decir, la intersección en $y$ de la línea).

2. Usa el hecho de que un $f$ continuo es 1-1 si y solo si $f$ es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Esto, por supuesto, es el caso si $f$ es diferenciable y la derivada es siempre positiva o siempre negativa (quizás sea cero en puntos "aislados"). (Nota que este método se aplica solo a la función verde debajo.)

Answer 2

Una función uno a uno es una función inyectiva. Una función $f:A\rightarrow B$ es una inyección si $x=y$ siempre que $f(x)=f(y)$.

Ambas funciones $f(x)=\dfrac{x-3}{x+2}$ y $f(x)=\dfrac{x-3}{3}$ son inyectivas.

Vamos a demostrarlo para la primera

$$ \begin{eqnarray*} f(x) &=&f(y)\Leftrightarrow \frac{x-3}{x+2}=\frac{y-3}{y+2} \\ &\Rightarrow &\left( y+2\right) \left( x-3\right) =\left( y-3\right) \left( x+2\right) \qquad(\text{for }x\neq-2,y\neq -2)\\ &\Rightarrow &xy-3y+2x-6=xy+2y-3x-6 \\ &\Rightarrow &-3y+2x=2y-3x\Leftrightarrow 2x+3x=2y+3y \\ &\Rightarrow &5x=5y\Rightarrow x=y. \end{eqnarray*}$$

Entonces hemos concluido que $f(x) =f(y)\Rightarrow x=y$, como se establece en la definición.

En cuanto a la segunda, tenemos $$ \begin{eqnarray*} f(x) =f(y)\Leftrightarrow \frac{x-3}{3}=\frac{y-3}{3} \Rightarrow &x-3=y-3\Rightarrow x=y. \end{eqnarray*} $$

Un ejemplo de una función no inyectiva es $f(x)=x^{2}$ porque $$ \begin{eqnarray*} f(x) =f(y)\Leftrightarrow x^{2}=y^{2} \Rightarrow x=y\quad \text{o}\quad x=-y. \end{eqnarray*} $$

Answer 3

Para tu segunda función modificada $f(x) = \frac{x-3}{x^3}$, podrías notar que $$f(x) - f(y) = \frac{(x-y)((3-y)x^2 +(3y-y^2) x + 3 y^2)}{x^3 y^3}$$ Como un polinomio cuadrático en $x$, el factor $ (3-y)x^2 +(3y-y^2) x + 3 y^2$ tiene discriminante $y^2 (9+y)(y-3)$. Así que cuando $y > 3$ o $y < -9$, esto produce dos $x$ reales distintos tales que $f(x) = f(y)$.

Answer 4

Antes de presentar mi respuesta, me gustaría decir que soy estudiante, así que realmente no sé si este es un método legítimo para encontrar lo requerido o no. Sería bueno si alguien señala cualquier error, sea cual sea.

$f(x)$ es la función dada.
$f'(x)$ es su primera derivada.
Al igualar $f'(x)$ a 0, se puede determinar si la curva de $f(x)$ es diferenciable o no en algún x real.
$CasoI: $ $No diferenciable$ - $Uno a uno$
$CasoII:$ $Diferenciable$ - $Varios a uno$

Answer 5

Según recuerdo, una función $f$ es inyectiva si es biyectiva, por lo tanto

$f$ es sobreyectiva $f$ es inyectiva

Por definición, sea $f$ una función del conjunto $X$ al conjunto $Y$. $f$ es sobreyectiva si para cada $y$ en $Y$ existe un elemento $x$ en $X$ tal que $f(x)=y$.

$f$ es inyectiva si se cumple lo siguiente: $x=y$ si y solo si $f(x) = f(y)$.