Secuencias de funciones simples convergiendo a $f$

Question

La proposición
Deje $f$ ser un acotado medible de la función en $E$. Mostrar que hay $\{\phi_n(x)\}$ $\{\psi_n(x)\}$ - secuencias de funciones simples en $E$ tal que $\{\phi_n(x)\}$ es creciente y $\{\psi_n(x)\}$ está disminuyendo y cada uno de estos convergen a $f$ uniformemente en $E$.

Por la simple aproximación lema sé que son dos de las mencionadas secuencias existe tal que $\phi_n(x) \leq f \leq \psi_n(x)$ $\psi_n(x)-\phi_n(x) < \frac{1}{n}$ por cada $n \in \mathbb{N}$.

El uso de uniforme de continuidad: para algunos $\varepsilon > 0$ existe un $n \geq N$ tal que $|\phi_n(x)-f| < \frac{1}{n}$. Desde simples funciones en un número finito de valores, es razonable tener un $\max$. Así que lo dejé $\phi(x)=\max\{\phi_n(x)\}$.

Supongo que no estoy seguro de cómo reunir el lema y la definición de función simple.

Answer 1

Para cada número entero no negativo $n$, definir $A_n:\mathbb R\to\mathbb R$ $A_n(t)=k2^{-n}$ cada $t$ tal que $k\leqslant2^nt\lt k+1$, para algún entero $k$ (en otras palabras, $2^nA_n(t)$ es la parte entera de $2^nt$).

Que $\phi_n=A_n(f)$ y $\psi_n=-A_n(-f)$. Entonces $\phi_n$ y $\psi_n$ son las funciones de paso y $\phi_n\leqslant f\leqslant \psi_n$ $\psi_n-\phi_n\leqslant2^{-n}$ cada $n$. Además, es la secuencia $(\phi_n)_n$ nondecreasing y la secuencia $(\psi_n)_n$ nonincreasing.

Answer 2

Puedo tomar tu segundo párrafo es la intención de obtener monótona de las secuencias de $\phi$$\psi$. Probablemente si nos fijamos en la prueba de la simple aproximación lema que ya son monótonas.

Si por el contrario desea definir una nueva secuencia $\phi'_n=\max_{i\leq n}\{\phi_n\}$ usted puede mostrar a $\phi'$ es simple, mostrando que toma un único valor en cada una de las intersecciones de los conjuntos en los que la $\phi_i$ tomar diferentes valores. Más precisamente, vamos a $\phi_i=\sum_{k=1}^{k(i)}a_{i,k}\chi_{E_{i,k}} $. Entonces la propuesta de $\phi'_n$ es constante en los conjuntos de $E_{1,k_1}\cap E_{2,k_2}\cap...\cap E_{n,k_n}$: desde cada una de las $\phi_i$ son constantes en este tipo de series, max no se puede cambiar.

Como puedes ver, todo va de la misma para la definición de las $\psi'$$\psi$.