¿Por qué la ameba reducir a su esqueleto cuando vamos a infinito?

Question

Deje $f\in\mathbb{C}[X_1^{\pm1},\ldots,X_n^{\pm1}]$ un polinomio de Laurent. Deje $\mathrm{Log}:(\mathbb{C}\setminus\{0\})^n\to\mathbb{R}^n$ definido por $\mathrm{Log}(z_1,\ldots,z_n)=(\log|z_1|,\ldots,\log|z_n|)$.

Llamamos a la ameba de $f$ el conjunto $\mathcal{A}_f=\mathrm{Log}(f^{-1}(0))$, es decir, la imagen de la variedad definida por $f$ bajo el logaritmo.

Puede ser demostrado que existe una convexa subdivisiones de $\mathbb{R}^n$ de manera tal que, cada una de las $n$-dimensiones de la célula contiene exactamente un componente conectado de $\mathbb{R}^n\setminus\mathcal{A}_f$. A continuación, el $(n-1)$-dimensiones de las células contenidas en la ameba y forman los llamados esqueleto de la ameba.

De las imágenes (c.f. los enlaces), parece obvio que cuando vamos a infinito la ameba se reduce a su esqueleto. Porque de algunas propiedades de la ameba, lo que quiero mostrar puede ser formulado de la siguiente manera:

Si un poliedro convexo $P$ está contenido en $\mathcal{A}_f$, luego cualquiera de las $P$ es limitada o $P$ ha vacío interior.

Y, si escribimos $B(\boldsymbol{x},r)=\{\boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^n \mid \|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\|<r\}$ la bola de centro $\boldsymbol{x}$ y radio de $r$; esto es equivalente a:

Para cualquier $\epsilon>0$ existe $D>>0$ tal que $$\|x\|>D\Rightarrow B(\boldsymbol{x},\epsilon)\not\subset\mathcal{A}_f.$$

En el artículo de Passare y Rullgard se muestra que el esqueleto es una deformación de retirar de la ameba, pero esto no implica que la ameba se encoge en su esqueleto cuando vamos a infinito.

Otro bonito de referencia sobre este tema.

Algunos de los más propiedades:

1. Los componentes conectados de $\mathbb{R}^n\setminus \mathcal{A}_f$ son convexas.
2. La parte convexa de la subdivisión de $\mathbb{R}$ es dual a la forma convexa de la subdivisión de la newton polytope de $f$.
3. Deje $E$ ser conectado a un componente de $\mathbb{R}^n\setminus \mathcal{A}_f$ $\sigma$ $n$- de la célula que lo contiene. Luego de la recesión de los conos de $E$ $\sigma$ son los mismos.

Answer 1

He aquí un esbozo de lo que está pasando.

Cerca de$^{\star}$ gran solución a $f(z_1, \ldots, z_n) = 0$, algunos de los monomio términos de $\beta_{\vec{\alpha}} z_1 ^{\alpha_1}z_2^{\alpha_2}\ldots z_n^{\alpha_n} (\alpha_i \in \mathbb{Z},\; \beta_{\vec{\alpha}} \in \mathbb{C}\setminus\{0\})$ son grandes. Pero si la suma de todos los monomials es cero en $\vec{z}$, entonces todos los grandes tienen que cancelar. En particular, no podemos tener un plazo de tamaño mayor que la suma de los módulos de todos los demás.

El método de Newton polytope de $f$ es el casco convexo de la $\alpha$ con $f$, y sus vértices corresponden a los monomials que puede ser de mayor tamaño en cualquier $\vec{z} \in \mathbb{C}^n$.

Una cara $C$ de la polytope determina un rayo en $\mathbb{R^n}$ que si $\mathrm{Log}(z)$ se encuentra en el rayo, para cualquier $\vec{\alpha}$ sobre la faz de la polytope, $\beta_\vec{\alpha}\vec{z}^{\vec{\alpha}}$ es de la misma talla. (Si todos los $\beta_\vec{\alpha}$ de estos líderes monomials para $\vec{z}$ 1, entonces el rayo pasa a través del origen, de lo contrario es desplazadas). Para abreviada de escribir esta $|\beta_\vec{\alpha}\vec{z}^{\vec{\alpha}}| =: |\vec{z}|^C$

De igual modo, un borde de la polytope determina un hyperplane en $\mathbb{R^n}$; los rayos se producen en la intersección de $n-1$ de estos hyperplanes; y de forma análoga para el intermedio-dimensional borde de las células de la polytope (y vamos a llamar a cualquiera de ellos $C$ también). La unión de la hyperplanes es el esqueleto de la ameba de $\mathcal{A}_f$.

Ahora, las soluciones a $f(\vec{z})=0$ no, en general, tienen su $\mathrm{Log}$ mintiendo exactamente en este esqueleto, por dos razones. Primero, porque hay una contribución de la no-líder de los términos; y en segundo lugar, al menos si hay más de dos términos en el líder de la célula, sus contribuciones no pueden ser exactamente iguales, aunque podemos estar seguros de que ninguno de ellos sobrepasa a todos los demás.

En primer lugar, vamos a considerar la no-líder de términos. Todos los monomials de $f$ que no son principales para $\vec{z}$ mentira ortogonal distancia de al menos $q$ detrás del borde de ataque (o la cara, o intermedio-dimensiones de la célula, de acuerdo a la elección de $\vec{z}$)$\vec{z}$.

En cuyo caso su tamaño máximo es proporcional a $(|\vec{z}|^C)^{1-q}$ principales $\vec{z}$, y su contribución total es menor que el tamaño máximo de la $\beta$ multiplicado por el número de monomials en $f$.

Como $|\vec{z}|$ aumenta, esta contribución disminuye como proporción del tamaño de los principales términos de $|\vec{z}|^C$. De manera que la distancia de la desviación desde el esqueleto de $\mathrm{Log}(\vec{z})$ necesario para tener en cuenta esta contribución disminuye: es proporcional a $(1-q) \log (|\vec{z}|^C)$.

Por otra parte, cualquier desviación de la estructura favorece a un lado u otro (relativo a la definición de los bordes) de la principal cara de $C$ y es similar potencia constante $q$ que determina qué tan lejos podemos ir antes de que esos términos abrumar a la contribución de los otros vértices de $C$; que a su vez nos permite sólo una distancia $\propto (1-q) \log (|\vec{z}|^C)$ desde el esqueleto.

[...]

El de arriba es casi una prueba de que el resultado deseado. La evidente brecha en la estricta dicotomía entre líderes y no líderes en términos de resultados en la ambigüedad acerca de lo que sucede cuando nos desviamos de un punto en el que una cara está llevando hacia un menor dimensiones principales de la célula, o viceversa. Puede ser apretado por considerar en más detalle la distancia de la parte baja de dimensiones intersecciones del esqueleto (que corresponden a las mayores dimensiones de las células de la polytope) en la que esta ambigüedad puede ocurrir.

$\star$ , Siempre que el método de Newton polytope contiene el origen; pero podemos multiplicar $f$ por un adecuado (posiblemente racional) poder de $X_1, \ldots, X_n$, para lograr esto sin pérdida de generalidad.