Discrepancia con la solución del libro y la mía de la transformada de Laplace de una función definida a trozos

Question

Determine la transformada de Laplace de $f(t)$ a continuación: $$ f(t)= \begin{cases} 0, & \text{si } t < 2 \\ (t-2)^2, & \text{si } t \geqslant 2 \end{cases} $$

Entonces, mi respuesta es

$$ 2e^{-2s}/s^3 $$

Pero la respuesta real [la respuesta en el libro] es

$$ 2e^{-s}/s^3 $$

¿Por qué? ¿Qué estoy haciendo mal? Elevé el límite hasta el e negativo tal como se supone que se debe hacer. Gracias

Answer 1

¿Por qué dices que la respuesta real es $2e^{-s}/s^3$? Con problemas de esta forma, podemos simplificar la integración reconociendo la derivada. \begin{align} \int_2^{\infty}(t-2)^2e^{-st}dt &=\int_2^{\infty}t^2e^{-st}dt-4\int_2^{\infty}te^{-st}dt+4\int_2^{\infty}e^{-st}dt\\ &=\frac{\partial^2}{\partial s^2}\int_2^{\infty}e^{-st}dt+4\frac{\partial}{\partial s}\int_2^{\infty}e^{-st}dt+4\int_2^{\infty}e^{-st}dt\\ &=\frac{\partial^2}{\partial s^2}\frac{e^{-2s}}{s}+\frac{\partial}{\partial s}\frac{4e^{-2s}}{s}+\frac{4e^{-2s}}{s} \end{align> A partir de esto, obtenemos la respuesta a la que llegaste, no la de los libros.

Answer 2

Dada la transformada de Laplace como \begin{align} f(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt \end{align> entonces para $$ f(t)= \begin{cases} 0, & \text{si } t < 2 \\ (t-2)^2, & \text{si } t \geqslant 2 \end{cases} $$ se ve que \begin{align} f(s) &= \int_{0}^{2} e^{-st} \, (0) \, dt + \int_{2}^{\infty} e^{-st} (t-2)^{2} \, dt \\ &= 0 + \int_{0}^{\infty} e^{-s(u+2)} u^{2} \, du \\ &= \frac{2 e^{-2s}}{s^{3}}. \end{align>

Si la respuesta está declarada en un libro entonces la diferencia más probable es debido a un error tipográfico.

Answer 3

Dada la función $f(t) = (t-2)^2 u(t-2)$, donde $u$ es la función escalón unitario, la Transformada de Laplace $F(s)$ de $f$ está dada por

$$F(s)= \int_0^{\infty} (t-2)^2 u(t-2) e^{-st}dt$$

$$=\int_2^{\infty} (t-2)^2 e^{-st}dt$$ Ahora, sustituyendo $u=t-2$, de modo que $du=dt$, y los límites de integración en $u$ van de $0$ a $\infty$, se obtiene

$$F(s)= \int_0^{\infty} u^2 e^{-s(u+2)}du=e^{-2s}\int_0^{\infty} u^2 e^{-st}dt$$

Ahora, podemos escribir

$$F(s) = e^{-2s}\frac{d^2}{ds^2} \left(\int_0^{\infty} e^{-st}dt\right)$$ $$e^{-2s}\frac{d^2}{ds^2} \left(\frac{1}{s}\right)$$ $$=e^{-2s}\frac{2}{s^3}$$lo que recupera el resultado deseado! Se debe tener en cuenta que la convergencia uniforme justifica el intercambio de derivación e integral impropia.