¿Existe otro método?

Question

Si $x$ y $y$ son números positivos tales que $x + y = 1$ , encuentre el valor máximo de $x^4y + xy^4$ .

Podría hacer este problema simplificando la expresión a $xy(1-3xy)$ y tomando $k=xy$ formando una ecuación cuadrática y obtuvo la respuesta como $1/12.$ Pero, ¿existe otro método que utilice el cálculo para realizar este problema?

Answer 1

Dado que $x+y=1$ puede transformar $x^4y+xy^4=x^4(1-x)+x(1-x)^4$ entonces toma la derivada, puesta a cero, y encuentra el valor de $x$ . El método que citas funciona bien para este problema, pero se basa en la naturaleza de las parábolas. Sustituyendo de esta manera se pueden resolver más problemas.

Answer 2

Esta es otra técnica. Puede utilizar Método del multiplicador de Lagrange .

Answer 3

Ya tienes $x^4y + xy^4 = xy(1-3xy)$ en este caso.

Ahora $(3xy) (1-3xy)$ es el producto de dos términos con suma fija de $1$ por lo que alcanza su máximo cuando los términos son iguales. Por lo tanto, para el máximo, necesitamos tener $3xy = 1-3xy \implies xy = \frac{1}{6}$ .

Así que $x^4y + xy^4 \ge \frac{1}{12}$ .