Forma multilínea simétrica de una forma homogénea.

Question

Deje que $V$ ser un $n$ -dimensionales $ \mathbb {R}$ -espacio vectorial. Deje que $ \phi :V \to\mathbb {R}$ una forma homogénea de grado $n$ , es decir. $ \phi ( \lambda v)= \lambda ^n \phi (v)$ .

Si definimos la simetría multinear [ ¡Vean la edición! operador $ \Phi :V^n \to\mathbb {R}$ por $$ \Phi [v_1, \ldots ,v_n]= \frac {1}{n!} \sum_ {k=1}^n \sum_ {1 \leq j_1< \cdots <j_k \leq n} (-1)^{n-k} \phi (v_{j_1}+ \cdots +v_{j_k}),$$ entonces podemos ver que para cualquier $v \in V$ , $ \Phi (v, \ldots ,v)= \phi (v)$ (utilizando la homogeneidad y esta fórmula combinatoria ).

La pregunta es: ¿Esta es necesariamente la única forma simétrica multilínea $ \Phi $ satisfactoria $ \Phi (v, \ldots ,v)= \phi (v)$ ? Si es así, ¿por qué? Si no, ¿hay alguna condición extra en $ \phi $ que implicaría la unicidad?

[ Edita : En realidad no está claro que con este escenario $ \Phi $ es multilineal. Probablemente necesitamos añadir alguna condición en $ \phi $ .]

Answer 1

Ver también http://en.wikipedia.org/wiki/Polarization_of_an_algebraic_form

La respuesta está casi escrita en su pregunta. Sólo tiene que demostrar la identidad escrita con $\Phi[\sum v,\sum v, \cdots, \sum v]$ en lugar de $\phi(\sum v)$ en el lado derecho debe cumplirse para cualquier simetría multilineal $\Phi$ . Esto, junto con la condición en la diagonal, muestra que ésta es necesariamente la forma de $\Phi$ .

Para demostrarlo, se puede tomar como inspiración el famoso caso bilineal $Q(u+v,u+v)-Q(u,u)-Q(v,v) = 2 Q(u,v)$ .

Como alternativa, puedes demostrar la unicidad derivando la expresión del artículo de la Wiki anterior. Considere $A=\lambda_1 v_1+\cdots+\lambda_n v_n$ . Entonces $$\partial/\partial \lambda_1 \Phi[A,A,\cdots,A]\mid_{\lambda_1=0} = \cdots = n\Phi[v_1,A',A',\cdots,A']$$ y así sucesivamente permite expresar inductivamente $\Phi$ en cualquier punto como una derivada de $\phi$ . ( $A'$ no tiene 1 término).