Evaluando el límite de una integral

Question

Estoy tratando de resolver este problema a partir de un pasado en el examen.

Deje $f:[0,1]\rightarrow\mathbb R$ ser una función continua tal que $f(0)=0$$f(1)=1$. Evaluar el límite $$ \lim_{n\rightarrow\infty}n\int_0^1f(x)x^{2n}dx. $$

Desde $nf(x)x^{2n}$ no es uniformemente convergente en [0,1] (incluso en [0,1)), no puedo intercambiar $\lim$$\int$. Yo podría usar integración por partes, pero me gustaría conseguir un horrendo alternando suma que implica repetido antiderivatives.

Le agradecería si pudiera darle una pista a este problema.

EDIT: Mientras Pedro Tamaroff la respuesta de obras y elegante, también estoy mirando hacia adelante para una solución que fácilmente se puede venir para arriba con.

Answer 1

Más bien sería evaluar $$\left( {2n + 1} \right)\int_0^1 f (x){x^{2n}}dx$$ since $% $ $\int_0^1 {{x^{2n}}dx} = \frac{1}{{2n + 1}}$

Tenga en cuenta entonces ese % $ $$(2n+1)\int_0^1 {f\left( x \right){x^{2n}}dx} - f\left( 1 \right) = \left( {2n + 1} \right)\int_0^1 ({f\left( x \right) - f\left( 1 \right)){x^{2n}}dx} $

y que $(2n+1)x^{2n}$ converge uniformemente a cero en $[0,\delta)$ para cualquier $\delta >0$. Uso que $f(x)-f(1)$ es continua y es cero en $x=1$ a hacer la integral pequeña en un barrio $[\delta,1]$. Si lo anterior no es suficientemente clara:

$$\begin{align}\left|\int_0^1(f(x)-f(1))x^{2n}dx\right|&\leqslant\int_0^1|f(x)-f(1)|x^{2n}dx\\&=\int_0^\delta|f(x)-f(1)|x^{2n}dx+\int_\delta^1|f(x)-f(1)|x^{2n}dx\\&\leqslant M\int_0^\delta x^{2n}dx+\varepsilon\int_\delta^1x^{2n}\\&\leqslant M\int_0^\delta x^{2n}dx+\varepsilon\cdot \int_0^1x^{2n}\\&=M \int_0^\delta x^{2n}dx+\frac{\epsilon}{2n+1}\end{align}$$

Al multiplicar por $2n+1$, se obtiene el límite en cuestión deberá ser hecho $f(1)$. Por lo tanto su límite es $f(1)/2$.

Answer 2

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