Esta es la segunda pregunta en mi serie de problemas para que otros entusiastas. La primera es aquí. Mis disculpas, como de costumbre, en caso de encontrarlos insultingly trivial.
El Lipshitz cuaterniones son cuaterniones con coeficientes enteros. Vemos que formar un sub-anillo de la real cuaterniones sin cierre bajo la división. Tras la inspección, es fácil ver que los coeficientes de los cuaterniones puede ser reemplazado con elementos de cualquier anillo. Específicamente, vamos a considerar los cuaterniones cuyos coeficientes son miembros de $\mathbb{Z}_n$. Estos están rogando ser llamado el modular Lipshitz cuaterniones. Supongamos que denotan ellos $Q_n$. Las siguientes preguntas son naturales:
(1) Para que $n$, si los hubiere, no $Q_n$ tiene al menos una adecuada trivial ideal?
Respuesta: los comentarios de @MatheiBoulomenos y @rschwieb han demostrado que $Q_n$ tiene al menos una adecuado, que no sea trivial ideal para todos los enteros $n >1$. Wow!
(2) Si $Q_n$ ha apropiado trivial ideales ¿cuáles son sus órdenes? Cómo, en todo caso, se relacionan con los ideales de $\mathbb{Z}_n$?
Respuesta parcial: @rschwieb ha señalado que Si $I$ es un ideal de a$\mathbb{Z}_n$, $Q_n$ tiene un ideal que consta de cuaterniones cuyos coeficientes son miembros de $I$.
Para el prime $n$, (1) se reduce a decidir si es o no $Q_n$ es un dominio. Desde cualquier finito de dominio es un campo, mostrando esto podría resolver (1) en el negativo. Tenga en cuenta que $\mathbb{Z}_n$ siempre es un sub-anillo de $Q_n$, lo $Q_n$ no puede ser un dominio de si $n$ es compuesto. También es cierto (aunque posiblemente inútil) que $Q_n$ es $n^4$.
Editar:
En relación con el caso donde $n$ es primo, la comprobación de si o no $Q_n$ es un dominio de la realidad puede ser trivial. Supongamos $q$ $p$ son dos miembros de $Q_n$, ambos diferentes de cero, y que $qp = 0$. Escrito $q = (a,b,d,c)$$p = (e,f,g,h)$, uno puede comprobar que esta condición es equivalente a la matriz
$$ M_q = \begin{pmatrix} a & -b & -c & -d\\ b & a & d & -c\\ c & -d & a & b\\ d & c & -b & a\\ \end{pmatrix} $$
tener un kernel que no sea trivial sobre $\mathbb{Z}_n$. Evidentemente $Q_n$ es un dominio si y sólo si $\ker M_q$ es trivial para cada $q \in Q_n$. Equivalentemente, podemos afirmar esto diciendo que el determinante de a $M_q$ nunca debe desaparecer en $Q_n$. Para las pequeñas $n$ es posible comprobar esta afirmación de forma exhaustiva. Por ejemplo, $n = 2$ requiere sólo $2^4 = 16$ cálculos (sin embargo, rschwieb ha mostrado $Q_2$ falla al ser un dominio!).
Editar (5/1/2017) Evidentemente he cometido un error con respecto a la que sea suficiente para mostrar prime $Q_p$ dominios. Actualizado post, con una propuesta de solución y nuevas preguntas, se puede encontrar aquí.
