Criterio de Kelly para apuestas múltiples

Question

Kelly dice que usted debe invertir $x\%$ de su bankroll en un juego de azar:

$$x = \frac{pE-1}{p-1}$$

donde $p$ es la probabilidad de ganar y $E$ es el beneficio esperado multiplicador si usted gana (es decir, $E$ veces cuánto apuestas).

Pero digamos que usted tiene dos opciones para invertir en: Uno que tiene alto riesgo y alta rentabilidad potencial y la otra que es absolutamente seguro, pero sólo paga muy poco (por ejemplo, asegurados por la FDIC cuenta bancaria).

¿Hay una fórmula para este caso? Yo estaba pensando que restar el rendimiento de los absolutamente seguro instrumento de la esperada rentabilidad de las de alto riesgo, de riesgo y, a continuación, sólo utilizando la fórmula anterior.

EDIT: he encontrado la fórmula: [pE-(1+r)]/[E-(1+r)] donde r es la tasa de interés

Answer 1

Usted puede estar interesado en buscar a un portafolio de inversión. Uno de los clásicos de la extensión del Criterio de Kelly es la maximización de la media geométrica de retorno de la cartera de valores (en lugar de maximizar el ratio de Sharpe que está en boga hoy en día).

Dadas dos activos, con una media de retorno de vectores $\mathbf{\mu}$ (es decir, $\mu_i$ es la media de retorno de activos $i$) y la matriz de covarianza $\Sigma$ podemos formular el problema de maximización de la media geométrica de retorno de la cartera $x$ mediante la resolución de $$ \max \left \{ \ln (1+x^T\mu) - \frac{x^T\Sigma x}{(1+x^T\mu)^2} \quad \right \}$$ sujeto a las restricciones $\sum_{i} x_i = 1$ $x_i \geq 0$ todos los $i$. El vector $x$ denota la fracción de su presupuesto que usted debe invertir en activos $i$.

Answer 2

Matemáticamente, el criterio de Kelly es equivalente a la maximización de la utilidad logarítmica. Por lo tanto usted puede ampliar log(terminalWealth) a la serie de Taylor y maximizar sus expectativas.

Eche un vistazo a mi artículo: criterio de Kelly multivariante carteras: un modelo de enfoque libre http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2259133

En mi papel en el que se encuentra tanto en la teoría y ejemplos numéricos con código fuente en R y CUDA.