¿Puede existir realmente un círculo?

Question

¿Es el círculo más imposible que cualquier otra forma geométrica? ¿Es un círculo un paralelogramo equilátero de lados infinitos? Wikipedia dice...

Un círculo es una forma simple de la geometría euclidiana que consiste en el conjunto de puntos de un plano que están a una distancia determinada de un punto dado, el centro. La distancia entre cualquiera de los puntos y el centro se llama radio.

Un plano geométrico tendría que tener un número infinito de puntos para representar un círculo, mientras que, por ejemplo, un cuadrado podría representarse con un número finito de puntos, en cuyo caso cualquier cálculo geométrico relacionado con círculos implicaría números igualmente infinitos (pi, por ejemplo).

Entonces, cuando alguien habla de un círculo como algo distinto a una teoría, ¿está hablando realmente de un paralelogramo equilátero de un [número realmente grande]? ¿O hay alguna manera de que encajen un número infinito de puntos en su plano geométrico?

Answer 1

Puede ser interesante observar que la naturaleza del círculo sobre la base de los axiomas euclidianos es algo menor de lo que se podría pensar, y es consistente con un comportamiento extraño. La razón es que Euclides no tenía supuestos de continuidad formal como parte de su marco axiomático, y resulta que el plano racional $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ que consiste en puntos que tienen sólo coordenadas racionales, satisface todos los axiomas euclidianos.

Este hecho puede utilizarse para demostrar que algunos de los argumentos y construcciones de Euclides no son realmente correctos. Por ejemplo, Euclides describe cómo construir la mediatriz de un segmento de recta KM, construyendo los círculos P y R con radio KM y uniendo los puntos de intersección A y Z como se indica a continuación. La recta AZ es la mediatriz de KM.

Pero la dificultad aquí es que Euclides nunca demostró que los círculos con un radio común deben intersecarse, y por lo tanto no sabe que A y Z existen realmente. El hecho de que A y Z existan es una hipótesis de continuidad no declarada en el sistema. Peor aún, es consistente con los axiomas de Euclides que los círculos no se intersecan realmente, en el sentido de que no hay tales puntos A y Z. Por ejemplo, este es el caso en el plano racional $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ ya que cuando K y M son racionales, entonces A y Z no lo son. Por lo tanto, no es posible demostrar sobre la base de los axiomas de Euclides que los círculos se intersecan en los puntos A y Z. Los círculos pueden simplemente pasar uno a través del otro sin tocarse. En el plano racional, estos círculos no se intersecan, sino que pasan uno a través del otro sin encontrarse, y esta construcción no logra construir la bisectriz perpendicular.

La conclusión es que es totalmente coherente con los axiomas de Euclides que los círculos tengan estos extraños agujeros en ellos y que los círculos con un radio común no puedan intersecarse.

Hay otros problemas similares con los axiomas euclidianos, y estos llevaron a varias correcciones formales y axiomatizaciones de los axiomas euclidianos a principios del siglo XX.

Answer 2

A. Conferencia de B. Kempe sobre los vínculos Cómo dibujar una línea recta (1866/1867) sugirió que un círculo era una construcción mucho más fácil que una línea recta.

En lo que respecta al círculo no encontramos dificultad....El aparato que acabo de describir no es por supuesto no es más que una forma simple de un par de compases, y es habitual decir que el tercer Postulado postula los compases.

Pero la línea recta, ¿cómo vamos a describir eso? Euclides la define la define como "que se extiende uniformemente entre sus puntos extremos". Esto no nos ayuda mucho. Nuestros libros de texto dicen que los primer y segundo postulados postulan una regla (2). Pero seguramente eso es la pregunta. Si tenemos que dibujar una línea recta con una regla, la regla debe tener un borde recto. borde recto; ¿y cómo vamos a hacer que el borde recto? Volvemos a nuestro punto de partida.

Answer 3

En el mismo sentido que piensas que un círculo es imposible, un cuadrado con lados verdaderamente perfectos nunca puede existir porque las líneas tendrían que tener una anchura infinitesimal, y nunca podemos medir un ángulo recto perfecto, etc.

Sin embargo, dices que crees que un cuadrado es físicamente posible de representar con 4 puntos. En este caso, un círculo es posible - sólo necesitas un punto y una longitud definida. Entonces todos los puntos de esa longitud desde el punto inicial definen el círculo, tanto si podemos delimitarlos con precisión como si no. De hecho, en este sentido, creo que un círculo está definido de forma más natural y precisa que un polígono determinado.

Answer 4

Creo que depende bastante de cómo se entienda "existir" y de cómo se defina $circle$ . Por ejemplo, en términos de coordenadas cartesianas, un círculo de radio $1$ centrado en el origen de la $x$ - $y$ plano, puede ser "definido" como el conjunto $$\{(x,y)\in{\mathbb R}^2:x^2+y^2=1\}$$ Entonces, cuando se pregunta si ese conjunto existe o no, la respuesta es sí, según los axiomas de la teoría de conjuntos.

La palabra clave en el extracto que citas de la wiki, creo que es " set " (el set de puntos en un plano que...). Por lo tanto, cuando se pregunta "¿puede existir un círculo?", en realidad se está preguntando "¿puede tal set existen".

Answer 5

Tu pregunta depende de la naturaleza de la "existencia". Hay dos posibilidades, tal y como yo lo veo: 1. El mundo es totalmente mecánico y está formado por un conjunto finito de partes medibles; o 2. El mundo es infinito y no tiene una medida mínima. El mundo es infinito y no tiene una medida mínima. Esto es importante debido a la irracionalidad de las medidas de un círculo. Nunca se puede tener un círculo con una circunferencia racional. Por lo tanto, sería imposible que el círculo estuviera formado por partes indivisibles. La última parte siempre estará ligeramente desplazada. Sin embargo, si no es necesario considerar la construcción del círculo a base de partes, entonces sí sería posible. Yo diría que un círculo es posible cuando se refiere al espacio, pero no cuando se refiere a la materia.