Aquí tengo la siguiente tarea:
Dejemos que $G$ es un finito $p-$ grupo y dejar que $H$ sea un subgrupo de él tal que $HG'=G$ . Demostrar que $H=G$ ( $G'$ es el subgrupo conmutador).
He intentado demostrar que $G\subseteq H$ tomando un elemento en $G$ pero esta forma parece ser débil aquí. ¿Es posible que este ejercicio esté impreso por error? Gracias amigos.
Basta con demostrar que $G'$ es un subgrupo de $\Phi(G)$ el subgrupo Frattini de $G$ . En el caso de $p$ -grupos, se puede hacer esto mostrando que $G/\Phi(G)$ es abeliana elemental. (En realidad, esto es cierto para los grupos nilpotentes en general, en cuyo caso $G/\Phi(G)$ sólo tiene que ser abeliano, aunque no necesariamente elemental).
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