Si a y b están en G y ab=ba, decimos que a y b conmutan. Suponiendo que a y b conmutan, demuéstralo:

Question

Si $a$ y $b$ están en un grupo $G$ y $ab=ba$ demuestre que $xax^{-1}$ conmuta con $xbx^{-1}$ para cualquier $x \in G$ .

Así que escribí:

WWTS: $\bf{xax^{-1} \times xbx^{-1}=xbx^{-1}\times xax^{-1} }$

El problema que tengo es que no sé por dónde empezar. Digamos que si empiezo con lo que se da:

ab=ba, entonces ¿puedo multiplicar cada lado por x y x $^{-1}$ y utilizar la ley asociativa ya que se trata de un grupo. Así, por ejemplo:

ab=ba

$xabx^{-1}=xbax^{-1}$ y luego por asociativo puedo cambiar:

$xax^{-1} b=xbx^{-1} a$ y multiplicar por x y x^-1 a la derecha

$xax^{-1} \times bxx^{-1}=xbx^{-1} \times axx^{-1}$

y volver a utilizar asociativo

$xax^{-1} \times xbx^{-1}=xbx^{-1}\times xax^{-1}$

¿Alguna idea?

Answer 1

No hay mucho que hacer y básicamente ya lo has encontrado:

$$\begin{align*} (x a x^{-1}) (x b x^{-1}) & = x a \underbrace{(x^{-1} x)}_{=e}bx^{-1} \\ & = x (ab) x^{-1} \\ & = x(ba)x^{-1} \\ & = xb(x^{-1} x)a x^{-1}\\ & = (xbx^{-1})(xax^{-1}) \end{align*}$$

Tenga en cuenta que la operación de grupo es asociativa, lo usamos mucho aquí.

Answer 2

Una idea muy útil para estos problemas es que el mapa $$f(a)=xax^{-1}$$ se llama "conjugación" y es un homomorfismo del grupo a sí mismo. Es decir, podemos demostrar, para todo $a,b$ eso: $$f(a)f(b)=f(ab).$$ Esto queda muy claro si se amplían ambas expresiones. Ahora, si empezamos con $$ab=ba$$ Podemos aplicar $f$ a ambos lados para obtener $$f(ab)=f(ba)$$ y luego usar ese $f$ es un homomorfismo para obtener $$f(a)f(b)=f(b)f(a)$$ que, si se amplía, es la afirmación deseada.