La caracterización de las diferencias de cuadrados en $\mathbb Z[x]$

Question

Es bien sabido que un número natural puede ser escrito como una diferencia de dos cuadrados si es que no de la forma $4k+2$.

Me pregunto si hay alguna caracterización de los cuales polinomios $f(x)\in\mathbb Z[x]$ con coeficientes enteros puede ser escrito como una diferencia $g(x)^2-h(x)^2$$f,g\in \mathbb Z[x]$.

He intentado buscar en google esto, pero ninguna de búsqueda relacionados con el "diferencia de cuadrados" y "polinomio" siempre devuelve una lista de páginas explicando la algebraica simple regla de $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.

Answer 1

No sé si este es el tipo de caracterización que usted está buscando:

Lema Deje $f(x) \in \mathbb Z[x]$ ser un polinomio. A continuación, $f$ es una diferencia de dos cuadrados si y sólo si $f$ puede ser factorizado como $$f(x)=u(x)v(x) \mbox{ con } \\ u(x), v(x) \in \mathbb Z[x] \mbox{ y } u(x)-v(x) \2 \mathbb Z[x]$$

La prueba es trivial, establezca $u=g-h$$v=g+h$.

Así el problema se reduce a la factorización de $f$. Si $f$ es primitivo e irreductible por ejemplo, puede ser escrito como una diferencia de cuadrados si y sólo es $f+1 \in 2\mathbb Z[x]$.

También si $f$ no es primitivo, y escribimos $f=ag$ con $a \in \mathbb Z, g \in \mathbb Z[x]$, $g$ primitiva, la respuesta es trivial si $a$ incluso: si $a=4k$, entonces la respuesta es sí, mientras que si $a=4k+2$ la respuesta es no.

Pero si $f$ tiene muchos factores, puede haber muchos casos de verificación.