¿Último dígito de la expresión?

Question

Encontré con este diablo mientras se prepara para JEE avanzado.
¿Pregunta: Si $$K=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{6^n}{(3^n-2^n)(3^{n+1}-2^{n+1})}$ $ entonces el último dígito de $(K+6)^{(K+6)!}$ es?

Lo que intenté hacer fue separar a $6^n$ como $3^n$$2^n$ y trató de seguir adelante, pero para ser honesto, me estoy poniendo nada en la respuesta que según mi libro de texto es 8.

Answer 1

Sugerencia. Se puede observar que \frac{6^n}{(3^n-2^n)(3^{n+1}-2^{n+1}) $$} = \frac {2 ^ n} {3 ^ n-2 ^ n}-\frac {2 ^ {n+1}} {3 ^ {n+1} -2 ^ {n+1}} $$ giving a telescoping sum, $N\ge1$, $$ \sum_{n=1}^N\frac{6^n}{(3^n-2^n)(3^{n+1}-2^{n+1})} = 2-\frac {2 ^ {n+1}} {3 ^ {n+1} -2 ^ {N + 1}} $$ así que sólo tenemos $$ \color{red}{K=2.} $$

Answer 2

Si usted realmente necesita ver cómo telescopios puede hacerlo así. Toma $2^n,2^{n+1} $ común de dos soportes ahora simplidying obtenemos $$\frac {1}{2}\frac {3^n}{2^n((\frac {3}{2})^n-1)(\frac {3}{2}(\frac{3}{2})^n-1)} $$ now let $(3/2) ^ n = a $ we see that $\frac {a} {2} = 3\frac {a}{2}-1-(a-1) $ thus the series is $\frac {1} {(\frac {3} {2}) ^ n-1}-\frac {1} {\frac {3} {2} (\frac {3} {2}) ^ n-1} $ thus the sum is $2$