Dar el resto de $x^{100}$ dividido por $(x-2)(x-1)$.

Question

Cuál será el resto que se obtiene cuando el % polinomio $x^{100}$está dividido por el polinomio $(x-2)(x-1)$.

Utiliza el teorema del resto pero no tuvo ningún impacto en la solución.

Answer 1

Sugerencia. El resto será un % polinomio lineal $ax+b$; usted necesita encontrar $a$ y $b$. Por división tenemos $$x^{100}=(x-2)(x-1)q(x)+ax+b\ .$ $ ahora sustituir dos convenientes valores de $x$ para encontrar dos ecuaciones que implican $a$ y $b$.

Answer 2

Sólo por diversión, generalizan el hilo en la excelente respuesta de @David.

Dividimos la cuadrática $p(x)$ a $(x-a)(x-b)$$$p(x)=(x-a)(x-b)Q(x)+(mx+n)$$ for some linear remainder. Plugging in $ $ and $b $ respectively gives $$\begin{align}p(a)=am+n \\ p(b)=bm+n \end{align}$$ Solving then for the parameters, we have $$\begin{align} m=&\frac{p(b)-p(a)}{b-a} \\ n=&\frac{b\,p(a)-a\,p(b)}{b-a}\end{align}$$ In general, it seems that the remainder of a polynomial $p $ by an $n $th degree divisor $d (x)=(x-r_1) \cdots (x-r_n)$ with $r_i\ne r_j, \; i\ne j $, is the interpolating polynomial of degree $n - 1 $ which goes through the $n $ points $% $$\Big(r_1,p(r_1)\Big),\,\dots\,,\Big(r_n,p(r_n)\Big)$

Y para generalizar aún más, supongamos que $d(x)=(x-r_1)^{n_1}\cdots (x-r_k)^{n_k}$ es un divisor de grado $n=n_1+\cdots n_k$. Entonces $$p(x)=(x-r_1)^{n_1}\cdots (x-r_k)^{n_k}\,Q(x)+R(x)$$ This will give the system of equations $$\begin{align}R(r_1)&=&p(r_1) \\ R'(r_1)&=&p'(r_1) \\ &\vdots& \\ R^{(n_1-1)}(r_1)&=&p^{(n_1-1)}(r_1) \\ \\ &\vdots& \\ \\ R^{(n_k-1)}(r_k)&=&p^{(n_k-1)}(r_k)\end{align} $$ which is $ecuaciones de %n $ variables in $n$.

Answer 3

Por el teorema del resto Chino para el polinomio anillo de $K[x]$ (donde $K$ es tu sin especificar el campo base, probablemente, el real o el de los números complejos), y el hecho evidente de que los polinomios $x-1$ $x-2$ son relativamente primos, el cociente del anillo de $K[x]/((x-1)(x-2))$ es isomorfo al producto anillo de $K[x]/(x-1)\times K[x]/(x-2)$, con los dos componentes del isomorfismo para el producto que se está dada por reducir aún más el modulo $x-1$ respectivamente modulo $x-2$ (la entrada ya estaba reducido modulo $(x-1)(x-2)$, de donde el "más").

Ahora los más reducciones aplicadas a la clase de $x$ da $1$$2$, lo $x$ corresponde al elemento $(1,2)$ del producto anillo. A continuación, $x^{100}$ es inmediatamente calculada en el producto anillo como $(1,2^{100})$. Sigue sin darse cuenta de que el valor, como la isomorfo imagen de la clase de un único polinomio de grado${}<2$, que el polinomio es el resto de la $x^{100}$ después de la división por $(x-1)(x-2)$, ya que esta es la mejor representante de la clase de $x^{100}$$K[x]/((x-1)(x-2))$. La imagen de la clase de $ax+b$ en el producto es$(a+b,2a+b)$, por lo que es suficiente para sove el sistema $$ \begin{aligned} a+b &= 1 \\ a+2b &= 2^{100} \end{aligned} $$ que da $b=2^{100}-1$$a=2-2^{100}$.