Demostrar que para cualquier % de vectores $\bf{u_1},\bf{u_2},\bf{v_1},\bf{v_2}\in\mathbb R^3$, tenemos $$(\bf{u_1}\times\bf{v_1})\cdot(\bf{u_2}\times\bf{v_2})= \left|\begin{matrix} \bf{u_1}\cdot\bf{u_2} & \bf{u_1}\cdot\bf{v_2}\\ \bf{v_1}\cdot\bf{u_2} & \bf{v_1}\cdot\bf{v_2} \end{matrix} \right|. $$
¿Realmente no quiero "explotar", hay una manera más analítica para demostrar esta identidad? Gracias.
En primer lugar tenga en cuenta que,
$(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)$
Y entonces
$\vec a\times(\vec b\times\vec c)=(\vec a\cdot\vec c)\vec b-(\vec a\cdot\vec b)\vec c$
Editar: considerar $u_1=\vec a,$ $v_1=\vec b$ y $\vec c=(u_2\times v_2),$, $(u_1\times v_1)\cdot(u_2\times v_2)=u_1\cdot(v_1\times(u_2\times v_2))$
Ahora utilice segunda identidad para expandir $v_1\times(u_2\times v_2)$
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