La intuición detrás de la diferencia entre $\frac{\partial f}{\partial t}$y $\frac{df}{dt}$

Question

Que $f=f(x,y,t)$. Utilizando la definición de la diferencial $df$, fácilmente podemos concluir que $\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \vec{\nabla})f$ $\hspace{2mm} (1)$

Mi pregunta es: nos referimos a $\frac{df}{dt}$ y $\frac{\partial f}{\partial t}$ como un cambio de la cantidad $f$ con respecto a los $t$. Pero, ¿qué simboliza cada derivado del tiempo en eq $(1)$? ¿Cómo podría medirlos?

(Sé que la definición de derivada parcial y el papel de $(\vec{v} \cdot \vec{\nabla})f$ % eq $(1)$. Todo lo que quiero es comprender la conexión de los derivados de $2$ en eq $(1)$.)

Answer 1

$\partial f/\partial t$ significa "Sentarse en un punto fijo $(x,y)$ y cambio $t$ un poco", es decir, $$f(x,y,t+h) = f(x,y,t) + h \frac{\partial f}{\partial t}(x,y,t) + o(h). $$

$df/dt$ significa "estoy en una ruta de acceso $(x(t),y(t))$ y mira cómo $f$ cambia como $t$ cambia un poco (y me muevo un poco así)", es decir, $ f(x(t+h),y(t+h),t+h) = f(x(t)+hx'(t)+o(h),y(t)+hy'(t)+o(h),t+h) \\ = f(x(t),y(t),t)+h\left(x'(t) \frac{\partial f} {\partial x} + y'(t) \frac{\partial f} {\partial y} + \frac{\partial f} {\partial t} \right)(x(t) , y(t),t) + o(h). $$

Answer 2

1. Con una función de $f(x,y,t)$, la notación $\frac{\partial f}{\partial t}$ denota el cambio de $f$ con respecto al $t$ , dejando $x$ $y$ constante.

2. Pero si $x$ $y$ no son constantes, sino que son ellos los dependenat en $t$, podemos escribir $f(x(t),y(t),t)$ y, a continuación, utilizar la diferenciación reglas para obtener $\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$

La matemática de manera formal para salir de esta ambigüedad es escribir siempre los parámetros como en $\frac{\partial f(x,y,t)}{\partial t}$ y $\frac{\partial f(x(t),y(t),t)}{\partial t}$. Pero eso ya es mucho para escribir y somos perezosos, así que la notación corta $d$ $\partial$

Answer 3

$$\frac{\partial f}{\partial t}$$ is the variation of $f $ due to time alone, while keeping $x, y$ constante, es decir, permanecer en un lugar fijo.

$$\frac{df}{dt}$$ is a total variation due to both the effect of time and of displacement. In particular, it $$ %v es la velocidad de una partícula en movimiento en un fluido, el derivado total describe las variaciones que se consideran por eso partícula que se mueve. En este caso, se llama la derivada material.

Answer 4

Creo que esto puede ser aclarado en una manera muy formal, pero esto puede ser complicado de entender.

Por lo $f$ es una función de tres variables, es decir, $f$ dominio $\Bbb R^3$. El símbolo $\frac{\partial f}{\partial t}$ sólo significa la derivada parcial con respecto a la tercera variable. Nada especial aquí.

Para interpretar el símbolo $\frac{df}{dt}$, se introduce una función de $\gamma:\Bbb R \to \Bbb R^3$, escrito como $\gamma(t)=(x,y,t)$, que especifica cómo las variables $x,y$ depende de $t$. A continuación, $\frac{df}{dt}$ debe ser correctamente escrito como $\frac{d(f\circ \gamma)}{dt}$. No debe haber ambigüedad en el modo de interpretar el último símbolo como $f\circ \gamma$ tiene el dominio y codominio de ser $\Bbb R$.

La igualdad de $$\frac{d(f\circ \gamma)}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} +\frac{\partial f}{\partial t}$$ es entonces una consecuencia de la regla de la cadena.

Answer 5

Saludos..Mixalis. Puedo decir que el uso de la derivada parcial $ \frac{\partial f(x,y,t)}{\partial t}$ es el tratamiento de la función de $f$ como función multivariable. $x$ , $y$, y $z$ son variables independientes.

Pero, en algunos casos, por ejemplo en la modelización de fluidos usando parcial de las diferencias. ecuación, nos gustaría expresar la solución de $f$ $$f(x(t),y(t),t)$$ Las funciones de $x(t)$ $y(t)$ se llama a la función característica. Por lo $\frac{df}{dt}$ actúa como una derivación de una función de variable. Usted puede aprender acerca de los más simples de la PDE que ha característico método para su solución, que es la advección/traducción de la ecuación. En esta solución de advección eqn, cada una de las partículas se mueven a lo largo de la curva de $(x(t),y(t))$. Por lo $(x(t),y(t))$ rastrea el movimiento de las partículas.

Si $f(x,y,t)= x + y + t$,$\frac{\partial f}{\partial t} = 1$.

Pero, si nos gustaría ver cómo $f$ cambios en un camino particular, $(x(t),y(t))$ , el derivado $\frac{d f}{dt} = x'(t) + y'(t) + 1$ es utilizado. Este mide la tasa de variación de $f$ a lo largo de un camino/sendero de $(x(t),y(t))$.

Gracias.