Campo del vector no desaparición en $\mathbb{R}P^{2n+1}$

Question

Estoy tratando de cocinar un no-desaparición de campo de vectores en $\mathbb{R}P^{2n+1}$. Sé que $S^{2n+1}$ admite uno, es decir,$(x_1,\dots,x_{2n+2})\mapsto (-x_2,x_1,\dots,-x_{2n+2},x_{2n+1})$. Por otra parte, sé que $S^{2n+1}$ es una suave cubierta doble de $\mathbb{R}P^{2n+1}$ a través del mapa de $x\mapsto \{x,-x\}$. Desde este campo de vectores es impar, $X(p)=-X(-p)$, tenía la esperanza de que podría ser una manera de cocinar un campo de vectores en $\mathbb{R}P^{2n+1}$. Así que, esto motiva a las dos siguientes preguntas:

1. Específicamente, ¿cómo puede uno explícitamente la construcción de un no-desaparición de campo de vectores en $\mathbb{R}P^{2n+1}$ (con la ruta anterior o no).

2. Decir $\tilde M$ $M$ son lisas, colectores y $p:\tilde{M}\to M$ es un buen cubrimiento del mapa. Si $X(p)$ es un buen campo de vectores en $\tilde{M}$, ¿en qué condiciones es allí una manera natural para cocinar un campo de vectores en $M$? (No me refiero a los naturales en el sentido riguroso).

Gracias!

Answer 1

En términos más generales. Supongamos que un grupo $G$ actúa correctamente discontinuo en un colector $M$ y que tiene un vector campo $X$ $M$ que es invariante bajo $G$, para que todos $g\in G$ y todos los $p\in M$ tenemos $$d_pg(X_p)=X_{gp}.$$ Then the quotient $M/G$ is a manifold, the canonical projection $\pi:M\to M/G$ is smooth and locally a diffeo, and there is a vector field $Y$ on $M/G$ such that $d_p\pi(X_p)=Y_{\pi(p)} $ for all $p\in M$.

En particular, si el campo $X$ pasa a ser cero por todas partes, el campo $Y$ tiene la misma propiedad.