Además de ser simétrica, cuando se una matriz SÓLO real de los autovalores?

Question

Me doy cuenta de que cuando una matriz es simétrica, entonces debe de tener todos los autovalores. Sin embargo, estoy realizando una investigación sobre matrices para mi propio placer y no puedo encontrar una demostración matemática o explicación cuando la matriz se tienen todos los valores propios, excepto cuando es simétrica. Estoy tratando con matrices como Una de abajo y quiero saber de qué se trata Una y su polinomio característico que le da la real autovalores (0, 0, -2)? Del mismo modo, lo que se trata de la matriz B que le da sólo un autovalor real (0) y los otros dos complejos?

Answer 1

Son los denominados $\mathcal{PT}$-simétrica matrices que pueden tener puramente real de los autovalores. Una matriz cuadrada $M$ se llama $\mathcal{PT}$-simétrica fib cumple la propiedad: $$[\mathcal{PT},M] = 0 \Leftrightarrow \mathcal{P}M = M^*\mathcal{P}$$ donde $\mathcal{P}$ es e $\mathcal{T}\equiv*$ es el complejo conjugación del operador. Más $[\mathcal{P},\mathcal{T}]=0$ y $\mathcal{P}^2=1$, $\mathcal{T}^2=1$ $\Rightarrow (\mathcal{PT})^2=1$. Un $\mathcal{PT}$-simétrica matriz se dice que 'unbroken' $\mathcal{PT}$ simetría iff cualquier vector propio de a $M$ también es un autovector de a $\mathcal{PT}$.

Reclamo: Si $M$ ha ininterrumpida $\mathcal{PT}$ simetría, esto implica que $M$ real de los autovalores.

Prueba: en Primer lugar observamos que los autovalores de a $\mathcal{PT}$ no son cero debido a que la combinación es una involución: $\mathcal{PT} u = \mu u \Rightarrow \mathcal{PT}^2 u = u = \mu^*\mu u \Rightarrow |\mu|=1$.

Ahora vamos a $Mv = \lambda v \Rightarrow \mathcal{PT}Mv = \mathcal{PT} \lambda v$. Así, desde la combinación de $\mathcal{PT}$ es un anti-lineal operador y $M$ viajes con $\mathcal{PT}$: $\mathcal{PT} M v = \lambda^*\mathcal{PT}v\Rightarrow \lambda \mu = \lambda^*\mu$. Ya hemos demostrado que $\mu\neq0$, esto implica $\lambda^* = \lambda$. QED

Más en $\mathcal{PT}$-simetría y conceptos relacionados en este artículo: http://arxiv.org/abs/1212.1861 El inglés allí no es perfecto, pero el contenido se ve bien.

Answer 2

Otro enfoque es el de construir una matriz triangular con pre-determinado de la diagonal de las entradas, que serán los autovalores, y la matriz no es simétrica.

Answer 3

¿Sabe usted de compañero de matrices? Ver el enlace de Wikipedia aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Companion_matrix

Son hechos a la orden de las matrices que tienen el polinomio desea como su polinomio característico. Están lejos de matrices simétricas. Ahora a empezar con un polinomio de tener su favorito de los números reales como sus raíces, y construir el Compañero de la matriz para que el polinomio.

Answer 4

Una condición necesaria y suficiente para que una matriz de$~A$ a han solo real de los autovalores (es decir, no tiene ningún no-real complejo autovalores) es la existencia de un polinomio $P$ que se divide en factores lineales sobre los números reales y tales que $P[A]=0$. Si un polinomio existe en todo, uno puede tomar el polinomio característico de a$~A$ (pero no necesariamente el mínimo polinomio) como$~P$. Esto le da un trivialmente válido, pero bastante difícil controlar la condición. Sin el uso de vectores propios, en realidad no es tan obvio, ¿por qué el polinomio característico de una matriz simétrica siempre debe permitir ese tipo de factorización. Pero no creo que uno se puede hacer mucho mejor para caracterizar completamente el caso de la real sólo autovalores.

Answer 5

Aquí es un ejemplo de las condiciones suficientes.