Hoy, quería hacer un post para esta pregunta. Hay algún método en el que se puede superar el problema como este y este. De acuerdo a mi conocimiento, yo podría resolver el problema mediante el enfoque de lo que yo había aprendido. Ya no sé lo que es este camino llamado, así que me negué a publicar una respuesta. Estoy muy agradecida si alguien me dice cuál es el método llamado? He aquí algunos de los preliminares, pero no la totalidad de las cosas, porque es difícil para mí para traducir toda la historia (lo siento).
Definición: Dejar $R=\{r_1,r_2,...,r_m\}$, $X=\{x_1,x_2,...,x_n\}$ y $G=\langle X| R\rangle$. Y considerar el grupo abelian $G/G'$. Si $\alpha_{ij}$ ser la suma de las potencias de $x_j$ en relación $r_i$ por lo que podemos llamar la siguiente matriz, la relación de la matriz de grupo abelian $G/G'$: $$M=\begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & ... & \alpha_{1n}\\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & ... & \alpha_{2n}\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots\\ \alpha_{m1} & \alpha_{m2} & ... & \alpha_{mn} \end{pmatrix}$$
Definición: Dejar $G=\langle X| R\rangle$, de tal manera que $|X|-|R|\le 0$. Si podemos hacer $M$ a tener un estándar de la diagonal de la forma: $$D:=\begin{pmatrix} d_1 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & d_2 & ... & 0 & 0\\ 0 & 0 & d_3 &0 & 0\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &d_k\\ 0 & 0 & 0 &0 & 0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots\\0 & 0 & 0 &0 & 0 \end{pmatrix}_{m\times n}$$ wherein $d_i\in\mathbb N\copa\{0\}$, by employing elementary row operations, then we can have $G/G'\cong\mathbb Z_{d_1}\times\mathbb Z_{d_2}\times...\mathbb Z_{d_k}$.
Por ejemplo: Vamos a $$G=\langle a,b\mid a^{2^{n-1}}=1, a^{2^{n-2}}=b^2, b^{-1}ab=a^{-1}\rangle$$ so $$G/G'=\langle a,b\mid a^{2^{n-1}}=1, a^{2^{n-2}}=b^2, a^2=1, [a,b]=1\rangle$$ Now we have $$M=\begin{pmatrix} 2^{n-1} & 0\\ 2^{n-2} & -2\\ 2 &0\\ \end{pmatrix}\xrightarrow{R_3\leftrightarrow R_1}\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 2^{n-2} & -2\\ 2^{n-1} &0\\ \end{pmatrix}\a\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & -2\\ 0 &0\\ \end{pmatrix}$$ So $G/G'\cong\mathbb Z_{2}\times\mathbb Z_{2}$.
Gracias por su tiempo para leer mi pregunta. :)
