$\frac{dy}{dx}=1+\frac{2}{x+y}$ solución mediante un "término integrador"

Question

Pensé en este truco y luego encontré un ejemplo para aplicarlo: $$\frac{dy}{dx}=1+\frac{2}{x+y}$$ Este es el truco: añada $\frac{dx}{dx}=1$ a ambas partes $$\frac{dy}{dx}+\frac{dx}{dx}=1+\frac{2}{x+y}+1$$ Utilizando la linealidad de $d$ $$\frac{d(x+y)}{dx}=2\frac{1+(x+y)}{x+y}$$ $$\frac{(x+y)d(x+y)}{1+(x+y)}=2dx$$ $$d(x+y)-\frac{d(x+y)}{1+(x+y)}=2dx$$ $$-\frac{d(x+y)}{1+(x+y)}=2dx-d(x+y)$$ Ahora $2dx-d(x+y)=2dx-dx-dy=dx-dy=d(x-y)$ $$-\frac{d(x+y)}{1+(x+y)}=d(x-y)$$ $$\frac{d(1+x+y)}{1+(x+y)}=d(y-x)$$ Integrar: $$\ln|1+x+y|=(y-x)+\ln C$$ $$1+x+y=C\exp\left(y-x\right)$$ ¿Se trata de un caso aislado o de un ejemplo particular de un método determinado? ¿Alguien conoce más ejemplos de EDO que puedan resolverse de forma similar? Sé que la multiplicador integrador teoría bastante bien, pero ésta parece algo extra a aquélla.

Answer 1

En general para ecuaciones de la forma $y'(x)=f(ax+by+c)$ (donde $a, b$ y $c$ son constantes $b\neq 0$ ), puede utilizar el cambio de variables $u=ax+by+c$ . Se obtiene la ecuación: $$ y'=\frac{u'-a}{b}=f(u) $$ que puede resolverse mediante la separación de variables: $$ \frac{du}{b \,f(u)+a}=dx $$