sistemas de 2 ecuaciones con 2 variables

Question

Me gustaría resolver el siguiente sistema:

$$ \sqrt{x}+y=10 \qquad (1)$$

$$ x+\sqrt{y}=5\qquad (2) $$ Sé que este sistema no respuesta si $ x,y \in \mathbb Z $

Porque

por (2)

$\qquad \sqrt{y}=5-x \qquad \Rightarrow\qquad5-x\ge0\qquad \Rightarrow\qquad x\le5$

y por (1)

$\qquad x\ge0$

entonces

$\qquad 0 \le x\le 5 $

si $X=0\qquad \Rightarrow\qquad y=10,by (1)\qquad x+\sqrt{y}\neq5$

si $X=1\qquad \Rightarrow\qquad y=9,by (1)\qquad x+\sqrt{y}\neq5$

y del mismo modo, seguimos $X=5$

mi pregunta: ¿Este sistema tiene todas las respuestas si $x,y \in \mathbb R ?$

Answer 1

Escrito $\sqrt{x}=10-y$, $\sqrt{y}=5-x$ obtenemos por la escuadra $$ x= y^2 - 20y + 100, \quad y - x^2 + 10x - 25 =0. $$ Sustituyendo en la primera ecuación en la segunda da $$ - y^4 + 40y^3 - 590y^2 + 3801y - 9025=0, $$ que tiene todas las raíces reales. Una de estas raíces conduce a una verdadera solución de las ecuaciones originales, es decir, $$ (x,y)=(2.07429337331, 8.5597592655). $$

Answer 2

Este sistema de ecuaciones no es lineal debido a que usted tiene raíz cuadrada de una de las variables. Sustituyendo y simplifyind darnos $4$-ésimo grado de la ecuación que tiene sólo una raíz real. El valor aproximado es de $(x,y)\approx(2.07429,8.55976)$. Aquí está la gráfica de estas ecuaciones:

Answer 3

De (1) : $x = (10-y)^2$. De (2): $ y = (5-x)^2$. Por lo tanto,

$$x = \left(10-(5-x)^2\right)^2,$ $ , que es una de 4to grado del polinomio. Resolver y probar las soluciones en su sistema.

Answer 4

Las ecuaciones no lineales debido a que tienen una raíz cuadrada. Si pones $x = X^2$$y = Y^2$, se va a transformar el conjunto de ecuaciones para \begin{eqnarray*} X + Y^2 &=& 10 \\ X^2 + Y &=& 5 \end{eqnarray*} La primera de estas ecuaciones da $X = 10 - Y^2 \Rightarrow X^2 = 100 - 20Y^2 + Y^4$. Sobre sustituyendo en la segunda, obtendrá $Y^4 - 20Y^2 + Y + 95 = 0$. Esta ecuación se puede resolver de forma numérica, por ejemplo en http://www.wolframalpha.com.

Answer 5

$\sqrt x + y = 10$ es parte de una parábola simétrica alrededor de $y = 10$ con vértice en a $(0, 10)$ $x$ interceptar a $(100, 0)$ $x + \sqrt y = 5$ es parte de una parábola simétrica alrededor de $x=5$ eje con vértice $(5, 0)$ $y_$interceptar a $(0,25).$ que se cortan en cuatro puntos en el primer cuadrante, pero la solución es el punto en el rectángulo $[0,5] \times [0,10]$