Las dimensiones de los subespacios vectoriales en una suma directa de son aditivos

Question

$V = U_1\oplus U_2~\oplus~...~ \oplus~ U_n~(\dim V < ∞)$ $\implies \dim V = \dim U_1 + \dim U_2 + ... + \dim U_n.$ [Utilizando el resultado si $B_i$ es una base de $U_i$ $\cup_{i=1}^n B_i$ es una base de $V$]

A continuación, basta para mostrar $U_i\cap U_j-\{0\}=\emptyset$ $i\ne j.$ Si no, $v\in U_i\cap U_j-\{0\}.$ \begin{align*} v=&0\,(\in U_1)+0\,(\in U_2)\,+\ldots+0\,(\in U_{i-1})+v\,(\in U_{i})+0\,(\in U_{i+1})+\ldots\\ & +\,0\,(\in U_j)+\ldots+0\,(\in U_{n})\\ =&0\,(\in U_1)+0\,(\in U_2)+\ldots+0\,(\in U_i)+\ldots+0\,(\in U_{j-1})+\,v(\in U_{j})\\ & +\,0\,(\in U_{j+1})+\ldots+0\,(\in U_{n}). \end{align*} Por lo tanto $v$ no tienen una única suma lineal de los elementos de $U_i's.$ por lo tanto, etc ...

Estoy en lo cierto?

Answer 1

Sí, usted está en lo correcto.

Se que dudas de ti mismo? Si es así, no hay necesidad de:

Estás argumento es "spot".

Si quieres ahorrar un poco de espacio, y el trabajo, usted puede escribir su suma como:

$$ \dim V = \sum_{i = 1}^n \dim U_i$$

"...Si no, $v\in U_i\cap U_j-\{0\}.$

$$v= v(\in U_i) + \sum_{\large 1\leq j\leq n; \,j\neq i} 0(\in U_j)$$