¿Podemos definir la suma y el producto de dos números irracionales mediante secuencias de Cauchy de sus fracción continuada simple convergents?

Question

Hay un montón de preguntas acerca de la suma y el producto de irrationals aquí, así que espero que tengan paciencia conmigo.

Simple continuación de la fracción es una forma muy conveniente para representar cualquier número, ya que cada número real tiene representación única y para cada número racional es finito, mientras que para todos los irracionales es infinita.

$$ x \in R, x \noen Q \Leftrightarrow x=a_0+\dfrac{1}{a_1+\dfrac{1}{a_2+1/...}}=[a_0;a_1,a_2,a_3,...,a_n,...] $$

Así que lo que pido es esto - podemos definir la suma y el producto de dos números irracionales como la suma de las secuencias de Cauchy de su simple fracciones continuas convergents? La suma y el producto de dos secuencias de Cauchy se definen como secuencias de sumas y productos de sus respectivos términos.

A diferencia de la general de Cauchy secuencias (de la cual no puede ser infinitamente muchos para un determinado número irracional) la secuencia de la simple continuación de la fracción convergents se supone que será único para cada número real. Hay relaciones de recurrencia definición de cada convergente de una simple continuación de la fracción.

Es posible entonces obtener una mejor comprensión sobre el problema de la irracionalidad de sumas y productos de irrationals como $e+\pi$ por ejemplo.

Tal vez usted puede recomendar algunas referencias sobre el tema? Estoy seguro de que ha sido investigado a fondo.

Answer 1

Ver: Rieger, "Un nuevo enfoque para los números reales (motivado por fracciones continuas)," Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft, vol. 33, pp 205-217, 1982.

El autor le da una construcción de los reales mediante fracciones continuas. Una encuesta de esta construcción aparece en este artículo.

No estoy seguro de cómo esto ayuda a pesar de que en el estudio de la (ir)racionalidad de, por ejemplo, $\pi + e$.

Answer 2

Tenga en cuenta que usted puede tomar en cualquier secuencias de $a_n\to\alpha$ $b_n\to\beta$ con el fin de obtener una sucesión convergente a $\alpha+\beta$ (o $\alpha\cdot\beta$); no es necesario fracciones continuas con el fin de obtener un representante de la secuencia de $\alpha+\beta$.

Ahora en su enfoque de cualquier número real $\alpha$, racional o irracional, tiene una única "forma normal": la continuación de su fracción de expansión. La teoría de fracciones continuas, a continuación, permite construir approximants $a_n={p_n\over q_n}\in{\mathbb Q}$$\alpha$, y del mismo modo para $\beta$. Esto permite calcular approximants ${r_n\over s_n}:=a_n+b_n$$\alpha+\beta$. Hasta este punto todo está bien. Pero el conjunto de la instalación sólo sería útil si usted tuvo un algoritmo simple que se encuentra en el definitivo continuó fracción de expansión de $\alpha+\beta$, tomando como entrada la secuencia de $\left({r_n\over s_n}\right)_{n\geq0}$. Pensar $\alpha:=\pi+{3\over4}$, $\beta:=7-\pi$. En que punto de este algoritmo decidir que $\alpha+\beta$ es de hecho racional?