Falla en esta prueba por inducción

Question

Estoy tratando de encontrar un defecto en la siguiente prueba, pero no estoy seguro de si estoy en lo correcto o no:

Identificar la falla en la prueba de que $2n = 0$ todos los $n \ge 0$.

Caso Base: Si $n=0$ $2\cdot n = 2\cdot 0 = 0$ Inductivo paso: Supongamos $n \gt 0$ $2m=0$ para todos los enteros $m$ donde $0 \le m \lt n$. Entonces tenemos

$2n = 2(a + b)$ para algunos enteros a y b, donde a $0 \le a, b \lt n$

$= 2a + 2b$

$= 0 + 0$ $= 0$

La parte de la prueba que parece incorrecta, para mí, es el hecho de que $b \lt n$, pero la prueba dice $b=0$. Para que b sea menor que n, debe ser menor que 0 de acuerdo a la inicial teorema.

Es este el único defecto en la prueba?

Answer 1

La prueba no dice que $b=0$; se dice que, debido a $b<n$, la inducción de la hipótesis implica que $2b=0$. El problema viene al principio:

$2n=2(a+b)$ para algunos enteros $a$ $b$ donde $0\le a,b<n$.

Al $n=1$ que simplemente no es cierto: si $0\le a,b<1$,$a=b=0$, e $a+b\ne 1$, después de todo. Por lo tanto, la inducción de paso no puede ser llevado a cabo para obtener de$n=0$$n=1$.

Si el primer caso de la inducción de paso fueron válidos, el argumento podría ir a través de bien, porque si $n$ es un número entero mayor que $1$, es verdad que nos puede escribir $n=a+b$ algunos $a$ $b$ tal que $0\le a,b<n$; por ejemplo, podemos dejar que la $a=1$$b=n-1$.

Answer 2

¿Cómo se escribe la $1$ $a+b$ donde $0 \leq a,b < 1$?