Cálculo numérico de los valores propios de una gran matriz real tridiagonal simétrica

Question

Si tengo un $N \times N$ en la que todas las entradas son cero, excepto en la superdiagonal y la subdiagonal, en las que cada entrada es la conjugada de la última, como la siguiente $5 \times 5$ matriz

$$\begin{bmatrix}0 & (1-t) & 0 & 0 & 0 \\(1-t) & 0 & (1+t) & 0 & 0 \\0 & (1+t) & 0 & (1-t) & 0 \\0 & 0 & (1-t) & 0 & (1+t)\\0 & 0 & 0 & (1+t) & 0 \end{bmatrix}$$

donde $t$ es algún parámetro. Imagina una matriz mucho más grande siguiendo el mismo patrón.

¿Hay alguna forma, numérica o no, de encontrar los valores propios?

Answer 1

En general, el problema de valores propios simétricos se resuelve reduciendo la matriz a la forma tridiagonal y aplicando después el algoritmo QR con desplazamientos implícitos.

Sólo la última etapa es relevante aquí y el tiempo de ejecución es $O(n^2)$ ya que sólo quieres los valores propios. Recomiendo empezar con las rutinas implementadas en LAPACK. Una breve lista de rutinas relevantes se da aquí

http://www.netlib.org/lapack/lug/node48.html

No veo la manera de explotar la subestructura tan especial de su matriz tridiagonal en los cálculos numéricos.

Answer 2

Esto no es una solución completa, pero puede darle algunas pistas:

La traza de esta matriz es cero, por lo que la suma de los valores propios debe ser cero. De hecho para cada potencia impar de la matriz la traza es cero. Si se multiplica la matriz por sí misma la traza de la nueva matriz ya no es cero, por lo que la suma de valores propios de la matriz al cuadrado no es cero. De hecho, de nuevo, cada potencia par tiene traza no nula, lo que me lleva a pensar que los valores propios estarán formados por pares no nulos $\lambda, -\lambda$ y $0$ (quizás valores repetidos de $0$ para la matriz de orden par, no estoy seguro).

Así que, de hecho, para el $5 \times 5$ matriz que tienes ahí, si solo uso Mathematica para obtener los valores propios: $\left\{0,-\sqrt{t^2+3},\sqrt{t^2+3},-\sqrt{3 t^2+1},\sqrt{3 t^2+1}\right\}$ . Tal vez si pruebas con diferentes órdenes de matrices podrás desarrollar alguna fórmula en términos de $n$ , donde $n$ es el orden de la matriz.