¿Existe una función no limitada en todos los conjuntos con medida positiva?

Question

¿Existe una función $f:[0,1]\rightarrow R$ tal que para todo $B\subset [0,1]$ con la medida de Lebesgue $\mu(B)>0$ , $f$ no tiene límites en $B$ ?

Answer 1

Sí. Deja que $A$ sea un conjunto Vitali, es decir, un conjunto de representantes de $\mathbb R/\mathbb Q$ y que $m:\mathbb Q\to\mathbb N$ sea una enumeración de los racionales. Definir $f(\alpha+q)=m(q)$ para todos $\alpha\in A, q\in\mathbb Q$ (restringir a $\alpha+q\in[0,1]$ si quiere una función definida en $[0,1]$ ). No existe un conjunto $B$ con $\mu(B)>0$ en el que $f$ está acotado, porque cada uno de esos conjuntos sería un subconjunto de $\bigcup_{n=1}^N f^{-1}(n)$ para algunos $N$ y todos los subconjuntos medibles de un conjunto no medible $f^{-1}(n)$ necesariamente tiene medida $0$ (ver El subconjunto del conjunto no medible ).

Answer 2

Para dicha función, los conjuntos $A_n=f^{-1}([-n,n])$ serían conjuntos de cero, $\mu(A_n)=0$ . Entonces $$\mu([0,1])=\mu\left(\bigcup_nA_n\right)\le\sum_n\mu(A_n)=0.$$

Answer 3

Eso parece. En aras de la simplicidad, considero el círculo unitario $\mathbb T=\{z\in\mathbb C:|z|=1\}$ en lugar de la unidad segmet $I=[0,1]$ . Ahora determinamos una partición estándar del conjunto $\mathbb T$ en un número contable de subconjuntos no medibles. En primer lugar, definamos una relación de equivalencia $\sim$ en $\mathbb T$ , poniendo $e^{\varphi i}= e^{\psi i}$ si $(\varphi-\psi)/\pi$ es racional. Sea $A\subset T$ sea un conjunto que se cruza con cada clase de la equivalencia $\sim$ exactamente en un punto. Entonces $T=\bigcup\{A_q:q\in [0;2)\cap\mathbb Q\}$ , donde $A_q=Ae^{q\pi i}$ es una partición de $\mathbb T$ en un número contable de subconjuntos congruentes. Sea $e:[0;2)\cap\mathbb Q\to\mathbb N$ sea una biyección arbitraria. Ahora, por fin, definamos una función $f:\mathbb T\to \mathbb R$ poniendo $f(z)=e(q)$ si $z\in A_q$ . Supongamos que existe un subconjunto medible $B$ de $\mathbb T$ tal que $\mu(B)>0$ y $f|B$ está acotado. Entonces existe un subconjunto finito $F$ de $\mathbb Q$ tal que $B\subset\bigcup\{A_q:q\in F\}=C$ . Pero como $\mathbb T$ contiene un número contablemente infinito de copias disjuntas de $C$ vemos que $\mu(B)=0$ una contradicción.