Deje $f$ ser una función. Si para cada a $\epsilon>0$ se obtiene una cierta función continua $g$ tal que $|f(x)-g(x)|<\epsilon$, $f$ es también continua

Question

Toda la cuestión: Dado $f: X \rightarrow \mathbb{R}$, supongamos que para cada $\epsilon>0$ podemos obtener alguna función continua $g: X \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $|f(x)-g(x)|<\epsilon$ para cualquier/arbitrario/lo $x\in X$. Demostrar que $f$ es también continua.

Lo que yo he probado hasta ahora: dado $a\in \mathbb{R}$, manipular

$|f(x)-f(a)| = |f(x)-f(a)+g(a)-g(a)+g(x)-g(x)| \leq$

$|g(a)-f(a)|+|g(x)-g(a)|+|f(x)-g(x)|$,

y, tomando un poco de cuidado con $\epsilon$, esto implicaría $|f(x)-f(a)| $ menos de $\epsilon$. Pero no puedo garantizar que estamos hablando de la misma $g$, ya que para cada uno de los diferentes $x$ es posible aproximar $f$ con $g$.

Cualquier sugerencias?

Answer 1

Deje $\epsilon>0$ y elija $g$ tal que $|f(x)-g(x)| < {1 \over 3} \epsilon$ todos los $x$.

Ahora elija $\delta$ que si $x \in B(a , \delta)$$|g(x)-g(a)| < {1 \over 3} \epsilon$.

Si $x \in B(a,\delta)$ $|f(x)-f(a)| \le |f(x)-g(x)| + |g(x)-g(a)| + |g(a)-f(a)| < \epsilon$.

Answer 2

Para cada $c>0$ existe $g_c$ tal que $|g_c(x)-f(x)|<c/3$. Deje $I=[x-d,x+d]$ un intervalo cerrado que contiene $x$, $g_c$ es uniformemente continua en a $I$ existe $e>0$ tal que $|y-z|<e$ implica $|g_c(z)-g_c(y)|<c/3, y,z\in I$.

Para cada $y\in [x-e/2,x+e/2]$, $|f(y)-f(x)|\leq |f(y)-g_c(y)|+|g_c(y)-g_c(x)|+|g_c(x)-f(x)|<c$.

Answer 3

Deje $\epsilon>0$ ser dado. Por lo tanto, existe cierta $g: X \rightarrow \mathbb{R}$ continua tal que $|f(x)-g(x)|<\epsilon$ cualquier $x\in X $. Para $a \in X$, ya que el $g$ es continuo, hay algunos $\delta>0$ tal que $x\in X$ $|x-a|<\delta$ implica $|g(x)-g(a)|<\epsilon/3$. En particular, para $x \in (a-\delta,a +\delta)$, la hipótesis que asegura que $|f(x)-g(x)|<\epsilon/3$$|f(a)-g(a)|<\epsilon/3$. Así, por $|x-a|<\delta$:

$|f(x)-g(x)|=|f(x)-f(a)+g(a)-g(a)+g(x)-g(x)|\leq |g(a)-f(a)|+|g(x)-g(a)|+|f(x)-g(x)|<\epsilon/3+\epsilon/3+\epsilon/3=\epsilon$

Esto demuestra que $f$ es continua.