¿cómo puedo calcular
$$\int^{2\pi}_0 \frac{d \theta}{(2-\sin \theta)^2}$$
Traté de sustituir $z=e^{i\theta}$, pero se ha vuelto muy complicado..
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No se puede sugerir un método alternativo, pero aquí están algunas sugerencias para hacer frente a los cálculos después de la sustitución de $z=e^{i\theta}$.
Si mi álgebra es correcta, usted debe terminar encima de tener que encontrar el residuo de $$\frac{z}{(z^2-4iz-1)^2}$$ en su único punto singular en el interior del círculo unidad. Usted encontrará a menudo que es más sencillo hacer este tipo de cosas en forma simbólica y, a continuación, sustituya los valores reales en la final. Así, escribir lo anterior como $$\frac{z}{(z-\alpha)^2(z-\beta)^2}\ .$$ Es fácil encontrar $$\alpha=(2-\sqrt3)i\ ,\quad\beta=(2+\sqrt3)i\ ,$$ y el residuo es $$\frac{d}{dz}\frac{z}{(z-\beta)^2}\Bigg|_{z=\alpha}\ .$$ Usted puede encontrar esto, en principio, en términos de$\alpha$$\beta$, luego de simplificar el uso de los hechos $$\alpha-\beta=-2\sqrt3i\ ,\quad \alpha+\beta=4i\ .$$ No es tan difícil si lo haces de esta manera, sólo se toma lentamente y con cuidado.
