La integral $\int \frac{\sin^3(x)}{\cos^4(x)}\,dx$

Question

Hey tengo problemas a resolver esta integral :

$$\int \frac{\sin^3(x)}{\cos^4(x)}dx$$

Yo creo que deberíamos usar $t=\sin(x)$, pero no está funcionando para mí. y si utilizo $t=\tan(x/2)$ que empeora. Alguna idea ?

Answer 1

El integrando es $$\tan^3x \sec x=\tan^2 x \cdot (\tan x \sec x)=(\sec^2 x-1)\cdot(\tan x \sec x)$$

Answer 2

El uso de $\sin^3(x) = \sin(x)-\cos^2(x)\sin(x)$, hace trivial.

Answer 3

$$ \int\frac{\sin^3 x}{\cos^4 x}\,dx =\int\frac{\sin^2 x}{\cos^4 x}\Big(\sin x \, dx\Big) = \int\frac{1-\cos^2 x}{\cos^4 x} \Big(\sin x \, dx\Big) = \int \frac{1-u^2}{u^4}(-du) $$ $$ = \int \left(\frac{1}{u^4} - \frac{1}{u^2}\right) \, (-du) $$