L'Hospital de la regla, exponental relación

Question

$$\lim_{x\to ∞} \frac {x^{1000000}} {e^x}$$ alguien podría por favor proporcionar algunos golpes con qué resultado me va a terminar?

Después de todo applyings de L'Hospital de la regla, voy a tener $\frac {n} {e^x}$ donde $n$ es de un gran número antes de que me fuera de la $x$ poderes. Así, será el límite de $0$, entonces? Puesto que el infinito no es nada he a $\frac {n} {0}.$ O será sólo el $\infty$?

Answer 1

El límite será de 0. Otra forma de ver esto:

Tenga en cuenta que $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots + \frac{x^{1000001}}{1000001!} + \cdots > \frac{x^{1000001}}{1000001!}$$ $$0<\frac{x^{1000000}}{e^x} < \frac{1000001!}{x}$$

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1000001!}{x} = 1000001! \lim_{x \to \infty} \frac1x = 0$$

El Teorema del sándwich nos va a dar este resultado.

Answer 2

Repite L'Hospital de llegar a

$$ \lim_{x\to \infty}\frac{10000000!}{e^x} $$

y al $x$ tiende a infinito, vas a obtener un $0$.

Answer 3

Un "más rápido" enfoque: tenga en cuenta que $$ \lim_{x \to \infty} \frac{x^{1000000}}{e^x} = \left(\lim_{x \to \infty}\frac{x}{e^{x/1000000}}\right)^{1000000} $$

Answer 4

El exponencial gana a cualquier polinomio, por lo que el límite es cero. Si usted realmente quiere pensar por L'Hospital, una vez que diferenciar $1000000$ a veces, el numerador será un enorme fija el número y el denominador será $e^x$. Y $\lim_{x \to +\infty} K/e^x = 0$ para cualquier constante $K$.

Answer 5

Si usted insiste en el uso de L'Hôpital, aquí es cómo usted debe pensar acerca de ello.

Primero recordemos lo que L'Hôpital, dice. Se dice que si usted tiene dos funciones de $x$, decir $f(x)$$g(x)$, y usted quiere saber lo $f(x)/g(x)$ tiende a como $x$ tiende a algunas límite de $a$, entonces si $f(x)$ $g(x)$ ambos tienden a $0$ o ambos tienden a $\infty$, y si $f'(x)/g'(x)$ tiende a un límite de $x$ tiende a $a$, a continuación, estos límites son los mismos. Es decir, $$\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

siempre que ambos existen. En su caso le ha $f(x)=x^{1000000}$$g(x)=e^{x}$. Si acabamos de diferenciar de una vez, entonces el límite de la parte superior y la parte inferior es todavía $\infty$, por lo que podemos utilizar de L'Hospital de nuevo. De hecho, si el uso de L Hôpital $1000000$ a veces, tenemos que $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^{1000000}}{e^{x}}=\lim_{x \to \infty}\frac{1000000!}{e^{x}}$$ Donde $1000000!$ es el producto de todos los números de $1000000$$1$. Pero esto es sólo una constante dividido por $e^{x}$, por lo que al $x$ vuelve grande a este gran número de estancias de la misma, mientras que $e^{x}$ sigue creciendo. Y desde $e^{x}$ puede conseguir tan grande como nos podría desear, su límite, tiene que ser $0$.