Encuentre $\int e^{2\theta} \cdot \sin{3\theta} \ d\theta$

Question

Estoy trabajando en un problema de integración por partes que, comparado con el manual de soluciones del estudiante, mi respuesta es bastante aproximada. ¿Podría alguien indicarme dónde me he equivocado?

Encuentre $\int e^{2\theta} \cdot \sin{3\theta} \ d\theta$

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$u_1 = \sin{3\theta}$

$du_1 = \frac{1}{3}\cos{3\theta} \ d\theta$

$v_1 = \frac{1}{2} e^{2\theta}$

$dv_1 = e^{2\theta} \ d\theta$

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$\underbrace{\sin{3\theta}}_{u_1} \cdot \underbrace{\frac{1}{2} e^{2\theta}}_{v_1} - \int\underbrace{\frac{1}{2} e^{2\theta}}_{v_1} \cdot \underbrace{\frac{1}{3} \cos{3\theta} \ d\theta}_{du_1}$

$\frac{1}{2}\sin{3\theta} \cdot e^{2\theta} - \frac{1}{6} \int \cos{3\theta} \cdot e^{2\theta} \ d\theta$

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Haciendo la integración por partes de nuevo...

$u_2 = \cos{3\theta}$

$du_2 = -\frac{1}{3} \sin{3\theta} \ d\theta$

$v_2 = \frac{1}{2} e^{2\theta}$

$dv_2 = e^{2\theta} \ d\theta$

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$\underbrace{\sin{3\theta}}_{u_1} \cdot \underbrace{\frac{1}{2} e^{2\theta}}_{v_1} - \frac{1}{6}\left(\underbrace{\cos{3\theta}}_{u_2} \cdot \underbrace{\frac{1}{2} e^{2\theta}}_{v_2} - \int \underbrace{\frac{1}{2} e^{2\theta}}_{v_2} \cdot \underbrace{-\frac{1}{3} \sin{3\theta} \ d\theta}_{du_2}\right)$

$\frac{1}{2}\sin{3\theta} \cdot e^{2\theta} - \frac{1}{6}\left(\frac{1}{2}\cos{3\theta} \cdot e^{2\theta} + \frac{1}{6} \int \sin{3\theta} \cdot e^{2\theta} \ d\theta\right)$

$\frac{1}{2}\sin{3\theta} \cdot e^{2\theta} - \frac{1}{12}\cos{3\theta} \cdot e^{2\theta} - \frac{1}{36} \int \sin{3\theta} \cdot e^{2\theta} \ d\theta$

$\frac{37}{36} \int \sin{3\theta} \cdot e^{2\theta} \ d\theta = \frac{1}{2}\sin{3\theta} \cdot e^{2\theta} - \frac{1}{12}\cos{3\theta} \cdot e^{2\theta}$

$\int \sin{3\theta} \cdot e^{2\theta} \ d\theta = \begin{equation} \boxed{\frac{18}{37}\sin{3\theta} \cdot e^{2\theta} - \frac{1}{37}\cos{3\theta} \cdot e^{2\theta}} \end{equation}$

Sin embargo, la respuesta del recuadro es incorrecta. La respuesta debe ser:

$\frac{1}{13} e^{2\theta} \left(2\sin{3\theta} - 3\cos{3\theta}\right)$

Answer 1

¡Ah, ja! ¡Lo tengo!

$du = 3 \cos{3\theta} \ d\theta$ no $\frac{1}{3} \cos{3\theta} \ d\theta$

Por alguna razón debo haber estado pensando en integrar el dv en lugar de diferenciarse.

Answer 2

También se puede utilizar la herramienta adecuada, que es el siguiente hecho:

Para cada número complejo no nulo $z$ , una primitiva de $\theta\mapsto\mathrm e^{z\theta}$ es $\theta\mapsto z^{-1}\mathrm e^{z\theta}$ .

En este caso, se observa la parte imaginaria de $\mathrm e^{z\theta}$ con $z=2+3\mathrm i$ por lo que la respuesta es la parte imaginaria de $$ \theta\mapsto z^{-1}\mathrm e^{z\theta}=|z|^{-2}\bar z\mathrm e^{z\theta}=|z|^{-2}(2-3\mathrm i)\mathrm e^{2\theta}(\cos(3\theta)+\mathrm i\sin(3\theta)). $$ Desde $|z|^2=2^2+3^2=13$ y la parte imaginaria de $(2-3\mathrm i)(\cos(3\theta)+\mathrm i\sin(3\theta))$ es $2\sin(3\theta)-3\cos(3\theta)$ una respuesta es $\theta\mapsto \frac1{13}\mathrm e^{2\theta}(2\sin(3\theta)-3\cos(3\theta))$ .

Answer 3

$$\int \mathrm{e}^{ax}\sin(bx)dx =\frac{\mathrm{e}^{ax}}{\mathrm{a^2+b^2}}[a\sin(bx)-b\cos(bx)]+c$$