Cómo mostrar $(x \wedge m)(x \wedge n) = x$ al $m \wedge n = 1$ $x \mid mn$

Question

He estado tratando de evaluar esta DPC con diferentes formas:

1. Por ejemplo: $(x \wedge m)(x \wedge n) = \prod_{p \in \mathbb{P}} p^{\min\{ v_p(x), v_p(m) \}} \times \prod_{p \in \mathbb{P}} p^{\min \{ v_p(x), v_p(n) \}}$

No estoy seguro de cómo mostrar que $\min\{ v_p(x), v_p(m) \} + \min\{v_p(x), v_p(n) \} = v_p(x)$.

2. También, he estado tratando de reescribir $x$ como un divisor de a $mn$ y extracto de algunos de los factores comunes, sin éxito.

3. Algoritmo de euclides, no funcionó.

¿Cuál es la evidente forma de mostrar este sin una larga prueba de uso de la descomposición en números primos de $x, m, n$?

EDIT2: La prueba publicado anteriormente era falso.

Notas : $\wedge$ es el MCD. $\mathbb{P}$ es el conjunto de los números primos.

Answer 1

Desde $m\land n=1$, para cada una de las $p$ le tienen o $v_p(m)=0$ o $v_p(n)=0$. Desde $x\mid mn$, $v_p(x)\le v_p(mn)=v_p(m)+v_p(n)$.

Si $v_p(m)=0$, luego $$ \min\{ v_p(x), v_p(m) \} + \min\{v_p(x), v_p(n) \} = 0+\min\{v_p(x), v_p(n) \}= \min\{v_p(x), v_p(mn) \}=v_p(x) $$ Del mismo modo, si $v_p(n)=0$.

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Pruebas alternativas. Desde $m\land n=1$, también se $(x\land m)\land(x\land n)=1$, $$ (x\de la tierra m)(x\de la tierra n)=(x\de la tierra m)\lor(x\de la tierra n) $$ Por distributividad, $$ (x\de la tierra m)\lor(x\de la tierra n)=x\de la tierra(m\lor n)=x\de la tierra (mn)=x $$