Todos las cantidades físicas, sin cambios de esta transformación?

Question

Estoy leyendo un artículo acerca de Bloch-Floquet estado. Mi pregunta es en la Parte II.B y Apéndice a de este artículo, voy a describir a continuación.

El original Schordinger ecuación que tener en cuenta es:

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \tilde{\Psi}(r,t)=\tilde{H}(t)\tilde{\Psi}(r,t)$$

donde:

$$\tilde{H}(t)=\frac{1}{2m_e}(\frac{\hbar}{i}\nabla+\frac{e\vec{A}(t)}{c})^2+V_c(r) $$

con $A(t)$ periódica en el tiempo y en $V_c(r)$ periódico en el espacio.

De acuerdo con el teorema de Floquet, esta vez-periódico Hamiltoniano tiene la función de onda en la forma:

$$\tilde{\Psi}(r,t)=e^{-i\tilde{\epsilon}(k)t/\hbar}e^{ik\cdot r}\tilde{\phi}_{\tilde{\epsilon},k}(r,t)$$ con $\tilde{\phi}_{\tilde{\epsilon},k}(r,t)$ periódico en el espacio y el tiempo, llamamos a $\tilde{\epsilon}(k)$ la de Bloch-Floquet quasienergy.

El autor hizo un siguiente transformación para evitar tratar con el cuadrado plazo de $A(t)$:

$$\tilde{\Psi}(r,t)\rightarrow\Psi(r,t)=\exp[\frac{ie^2}{2m_e\hbar c^2}\int^t dt'A^2(t')]\tilde{\Psi}(r,t)$$

Sustituir a la original Schordinger ecuación llegamos a:

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(r,t)=H(t)\Psi(r,t)$$

donde:

$$H(t)=H_0+\frac{e}{m_ec}\vec{A}(t)\cdot \frac{\hbar}{i}\nabla$$ $H_0$ es el campo libre de Hamilton. Finalmente, el autor afirmaba que las cantidades físicas son invariante bajo una transformación y dar un ejemplo de la invariancia de la densidad de corriente(puedo ver la identidad).

Mi pregunta es:

• Esto es sólo un indicador de la transformación $A\rightarrow A,\phi=0\rightarrow -\frac{e}{2m_ec^2}A^2$. Las cantidades físicas debe ser invariable después de la transformación. Es el floquet quasienergy una cantidad física? Yo estoy pidiendo esto porque después de la transformación, el autor utiliza esta nueva Schordinger ecuación para calcular el Bloch-Floquet quasienergy, es que estos qusienergies mismos que los obtenidos con el original de Schordinger ecuación?

• Si puedo calcular esta cantidad $\int d\vec{r}\Psi^*H\Psi$$\int d\vec{r}\tilde{\Psi}^*\tilde{H}\tilde{\Psi}$ , ¿cuál es el significado físico de ellos? Uno puede ver fácilmente que no son iguales. También lo es la diferencia y la relación entre esta cantidad y el floquet de energía?

Answer 1

Este es un unitario de transformación, que puede ser llamada "para ir a una interacción de la imagen". En general, el formalismo, es decir, supongamos que la ecuación de Schrödinger es \begin{split} H|\psi\rangle=i\hbar\partial_t|\psi\rangle \end{split} Se puede aplicar una transformación unitaria $T$ al estado: \begin{split} |\psi\rangle=T|\psi'\rangle \end{split} a continuación, el nuevo estado $|\psi'\rangle$ satisface la ecuación de Schrödinger \begin{equation} H'|\psi'\rangle=i\hbar|\psi'\rangle \end{equation} con \begin{split} H'=T^{-1}HT-i\hbar T^{-1}\partial_t T \end{split}

Para decirlo de una forma más familiar, si el Hamiltoniano es $H=H_0+V$ en Schrodinger imagen, a continuación, en la interacción de la imagen usted puede optar $|\psi_I\rangle=\exp(iH_0t/\hbar)|\psi_S\rangle$ y la función de onda en la interacción de la imagen satisface \begin{equation} H'|\psi_I\rangle=i\hbar\partial_t|\psi_I\rangle \end{equation} con $H'=\exp(iH_0t/\hbar)V\exp(-iH_0t/\hbar)$.

Esta es la forma en que el papel se obtiene de la segunda forma del Hamiltoniano. Debido a que sólo se va a una interacción específica de la imagen, de las cantidades físicas, no debe cambiar mientras hagas las cosas de manera consistente (deshaciendo la transformación). Tenga en cuenta, sin embargo, la interacción de la imagen es principalmente diseñado para resolver la dinámica, la eigenenergies puede cambiar si usted no deshacer el transfomation después de la resolución de la evolución en el tiempo. Por ejemplo, en el ejemplo anterior, si usted no deshacer la transformación y el uso de $H'$, para calcular eigenenergies, sólo se puede obtener los autovalores de a $V$, e $\int d\vec r\psi^*H'\psi$ no es la expectativa de valor de la totalidad de Hamilton, es sólo la expectativa de valor de la interacción de Hamilton. En este sentido, el uso de la nueva Hamiltonianos, no creo que el autor siempre obtendrá el mismo eigenenergies de la original de Hamilton.

Acerca de quasienergies derivados de Floquent teorema, en general, no son el eigenenergies de la de Hamilton, que se puede ver en menos de dos maneras. Por un lado, depende del tiempo de Hamiltonianos no tienen tiempo independiente de los autovalores. Por otro lado, eigenenergies (dividido por $\hbar$) son las frecuencias propias de la evolución en el tiempo, pero quasienergies no tienen esta propiedad desde $\tilde\phi_{\epsilon,k}(r,t)$ es en general dependientes del tiempo. Estos quasienergies proporcionar un análogo de la eigenenergies en el periódicamente perturbado sistema, en el sentido de que conoce todas estas quasienergies y Floquent de los estados, usted puede obtener la totalidad de la evolución en el tiempo mediante la ampliación de la función de onda en esta base.

En este problema en particular, es también un indicador de la transformación, como se argumentó. Sin embargo, si $\vec A$ fue un espacio dependiente de la transformación que escribió, no podía mantener el campo electromagnético invariante, por lo que no es un indicador de la transformación en ese caso.