simple pregunta de la teoría de conjuntos/teoría de medidas

Question

Es una pregunta sencilla.

En las páginas 5-6 de la Teoría de la Medida, Vol 1, Vladimir Bogachev escribe que:

para $E=(A \cap S) \cup (B \cap (X-S))$

Ahora, él escribe eso:

$X-E = ((X-A) \cap S) \cup ((X-B) \cap (X-S))$

Pero no entiendo esta expresión, tengo otro término de $((X-B) \cap (X-A))$

es decir, $X-E =( ((X-A) \cap S) \cup ((X-B) \cap (X-S))) \cup ((X-B) \cap (X-A))$ .

Creo que lo hice correctamente de acuerdo con las reglas y la distribución de De-Morgan.

Estoy desconcertado...

Answer 1

$$ \begin {align*} x \notin E& \iff x \notin (A \cap S) \text { and }x \notin (B \cap (X-S)) \\ [0.05in] & \iff (x \notin A \text { or }x \notin S) \text { and }(x \notin B \text { or }x \notin (X-S)) \\ [0.05in] & \iff (x \in (X-A) \text { or }x \in (X-S)) \text { and }(x \in (X-B) \text { or }x \in S) \end {align*}$$ Si $x \in S$ entonces debemos tener $x \in (X-A)$ porque, en este caso, $$(x \in (X-A) \text { or }x \in (X-S)) \iff x \in (X-A).$$ De manera similar, si $x \in X-S$ debemos tener $x \in (X-B)$ porque $$(x \in (X-B) \text { or }x \in S) \iff x \in (X-B).$$