Cómo justificar la diferenciación en virtud de la integral en el cálculo de $ \int_0^1\frac{\log(1+x)}{1+x^2}\,\mathrm dx $?

Question

En este post el autor utiliza la diferenciación bajo el signo integral para evaluar la integral

$$ \int_0^1\frac{\log(1+x)}{1+x^2}\,\mathrm dx $$

por la configuración de la función

$$ F(a) = \int_0^1\frac{\log(1+ax)}{1+x^2}\,\mathrm dx, $$

y de computación,$F'(a) = \int_0^1\frac{\partial}{\partial a}\big[\frac{\log(1+ax)}{1+x^2}\big]\,\mathrm dx$. Mi pregunta es ¿cómo podemos justificar formalmente el uso de la diferenciación bajo el signo integral aquí?

Algunos pensamientos. Vamos a poner a $f(x,a) = \frac{\log(1+ax)}{1+x^2}$ $x\in[0,1]$ $a$ en algunos dominio $A\subseteq\mathbf R$. Sé que las condiciones suficientes para este procedimiento son que $f(x,a)$ $\frac{\partial f}{\partial a}(x,a)$ son continuas en a$[0,1]\times A$, $F(a)$ existe para cada una de las $x\in[0,1]$, y que para cada $a\in A$, $\big|\frac{\partial f}{\partial a}(x,a)\big|\le g(x)$ donde $\int_0^1g(x)\,\mathrm dx<\infty$. No estoy seguro de cómo utilizar estas ideas para armar una prueba, y tal vez no necesitamos que cada una de estas ideas para hacerlo.

Entonces, ¿cómo podemos justificar esto?

Answer 1

Esta es una aplicación de un caso concreto de la de Leibniz integral de la regla en el caso de que los límites no dependen de la variable de diferenciación. Es algo como esto: Dado que f(x, t) es una función tal que la derivada parcial de f con respecto a t existe y es continua, entonces

\begin{align} {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\int _{a(t)}^{b(t)}f(x,t)\,\mathrm {d} x\right)=\int _{a(t)}^{b(t)}{\frac {\partial f}{\partial t}}\,\mathrm {d} x\,+\,f{\big (}b(t),t{\big )}\cdot b'(t)\,-\,f{\big (}a(t),t{\big )}\cdot a'(t) \end{align}

Hay un montón de pruebas de esto. Mi favorito es en el libro llamado $Inside\ Interesting\ Integrals$, en el que el autor sólo utiliza el conocido limitar la definición de la derivada parcial para demostrarlo. De ello se desprende casi directamente a partir de esas definiciones.

Answer 2

Sus "pensamientos" están en el camino correcto. Para esta clase de problemas, nos basamos en el conjunto compacto de el dominio de la función y su derivada, la cual representa la función y su derivada uniformemente continua.

Si $a$ está restringida al intervalo cerrado $[a_1,a_2]$,$a_1>-1$, $f(x,a)=\frac{\log(1+ax)}{1+x^2}$ $\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}$ son uniformemente continuas en $[0,1]\times [a_1,a_2]$.

Deje $\epsilon>0$, y elija $\delta>0$ tal que $|x-x'|<\delta$ $|a-a'|<\delta$ implican $|f(x,a)-f(x',a')|<\epsilon$. A continuación, elija $0<|h|\le \delta$ y deje $a\in [a_1,a_2]$.

Luego, a partir de la media-teorema del valor, existe un número $0<\theta(x)<1$ tal que

$$\begin{align} \left|\int_0^1 \left(\frac{f(x,a+h)-f(x,a)}{h}-\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}\right)\,dx\right|&=\left|\int_0^1 \left(\frac{\partial f(x,a+\theta h)}{\partial a}-\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}\right)\,dx\right|\\\\ &\le \int_0^1 \left|\frac{\partial f(x,a+\theta h)}{\partial a}-\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}\right|\,dx\\\\ &<\epsilon \end{align}$$

Y hemos terminado!

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Tenga en cuenta que a pesar de no entender la naturaleza de $\theta(x)$, $\frac{\partial f(x,a+\theta h)}{\partial a}$ es una función integrable, ya que es igual a la diferencia cociente $\frac{f(x,a+h)-f(x,a)}{h}$.

Answer 3

Sus pensamientos son esencialmente de un teorema (2.27 b) en Folland del Análisis Real:

Un simple cálculo muestra que $$ \biggr|\frac{\partial}{\partial}\left[\frac{\log(1+ax)}{1+x^2}\right]\biggr|= \biggr|\frac{x}{1+x^2}\frac{1}{1+ax}\biggr|\leq 1 $$ para $(x,a)\in[0,1]\times[0.5,1.5]$. Así, uno puede dejar a $g(x)=1$ $[0,1]$ como el dominado función.