¿Por qué es finita integral de dominio siempre en el campo?

Question

Esta es la forma en que me estoy acercando: vamos a $R$ ser finito integral de dominio y estoy tratando de mostrar cada elemento de a $R$ tiene una inversa:

• deje $R-\{0\}=\{x_1,x_2,\ldots,x_k\}$,
• entonces como $R$ es cerrado bajo la multiplicación $\prod_{n=1}^k\ x_i=x_j$,
• por lo tanto, mediante la cancelación de $x_j$ obtenemos $x_1x_2\cdots x_{j-1}x_{j+1}\cdots x_k=1 $,
• por desplazamientos de cualquiera de estos elementos a la parte delantera encontramos una relación inversa para el primer plazo, por ejemplo para $x_m$ tenemos $x_m(x_1\cdots x_{m-1}x_{m+1}\cdots x_{j-1}x_{j+1}\cdots x_k)=1$ donde $(x_m)^{-1}=x_1\cdots x_{m-1}x_{m+1}\cdots x_{j-1}x_{j+1}\cdots x_k$.

Tan lejos como puedo ver que esto es correcto, por lo que hemos encontrado los inversos de todos los $x_i\in R$ aparte de $x_j$ si estoy en lo cierto hasta el momento. ¿Cómo podemos encontrar a $(x_{j})^{-1}$?

Answer 1

Recuerde que la cancelación se sostiene en los dominios. Es decir, si $c \neq 0$, $ac = bc$ implica $a=b$. Por tanto, y dado $x$, considere la posibilidad de $x, x^2, x^3,......$. Fuera de la finitud no sería una repetición en algún momento: $x^n = x^m$ algunos $n >m$. Luego, por la cancelación, $x^{n-m} =1$, e $x$ tiene una inversa.

Answer 2

Su prueba es completable. Poner $\rm\:u = x_j\ne 0.\:$ $\rm\:u^2 = u\:\ (so\:\ u = 1)\: $ o $\rm\: u^2 = x_{\:k}\mid 1\:$ $\rm\:u\mid 1.\:$ por lo Tanto, todos distintos de cero los elementos de la $\rm\:R\:$ son unidades. $\:$ (nota: $\rm\ u^2 \ne 0\:$ por $\rm\:u\ne 0\:$). $\ $ QED

De hecho, uno puede generalizar tales encasillar ideas de base. El Teorema siguiente es una manera simple. Tenga en cuenta que la anterior prueba es sólo el caso especial cuando $\rm\:R\:$ es un dominio y $\rm\:|\cal N|$ $ = 1\:.$

Teorema $\ $ Si todos, pero un número finito de elementos de un anillo de $\rm\:R\:$ son unidades o cero divisores (incluyendo $0$), entonces todos los elementos de a $\rm\:R\:$ son unidades o cero divisores.

Prueba de $\ $ Supongamos que el conjunto finito $\rm\:\cal N\:$ de nonunit no-cero-divisores es no vacío. Deje $\rm\: r\in \cal N.\,$, Entonces todos los poderes positivos $\rm\:r^n\:$ también están en $\rm\:\cal N\:$ desde el encendido conserva la propiedad de ser un nonunit y no-cero-divisor (si $\rm\ a\,r^n = 0\:$, entonces, ya no zerodivisors son rescindibles, podemos deducir $\rm\:a = 0\:$ por la cancelación de la $\rm\:n\:$ factores de $\rm\:r).\,$, por Lo que encasillamiento de los poderes $\rm\:r^n\:$ en el conjunto finito $\rm\,\cal N$ rendimientos $\rm\:m>n\:$ tal que $\rm\:r^m = r^n,\ $ $\,\rm\:r^n(r^{m-n} - 1) = 0\:.\:$ $\rm r^n\in\cal N$ no es un cero divisor para que podamos cancelar, que, finalmente, los rendimientos que $\rm\:r^{m-n}=1,\:$ $\rm\:r\:$ es una unidad, una contradicción. $\ $ QED

Corolario $\ $ Cada elemento de un anillo finito es una unidad o un cero divisor (incluyendo $0$).
Por lo tanto finita integral de dominio es un campo.

De una forma menos trivial ejemplo ver mi prueba aquí que generaliza ("fewunit" anillos) Euclides clásico constructivo prueba de que existen infinitos números primos. Tales ideas generalizar a monoids y saldrán a la luz cuando uno aprende algebraicas local-global de los métodos, esp. la localización de los anillos.

Answer 3

Es sufficies para demostrar que no existe $1\in R$ tal que $a1=1a=a$ cualquier $a\in R$, y que todos los $a\neq 0$ es invertible en a $R$. Así que vamos a $R=\{a_1,\dots,a_n\}$ $a_i$'s de a pares distintos. Deje $a=a_k\neq 0$. A continuación, los elementos $$aa_1,aa_2,\dots, aa_n$$ are also pairwise distinct (if $aa_i=aa_j$ with $i\neq j$ then $a(a_i-a_j)=0$ wich forces $a_i=a_j$ since we are in an integral domain and $a\neq 0$). But then the map $\Psi:R\R$ defined by $$\Psi(a_i)=aa_i$$ es inyectiva, por lo que hemos demostrado antes. Desde $R$ es finito también es surjective, entonces es un bijection. Esto significa que cada elemento de a $R$ puede ser escrito como $aa_i$ algún elemento $a_i\in R$. En particular, $a$ sí se puede escribir de esta manera: no exixsts $a_{i_0}\in R$ tal que $a=aa_{i_0}=a_{i_0}a$.

Ahora pretendemos que $a_{i_0}$ es la unidad de elemento de $R$: de hecho deje $x=aa_i$ cualquier elemento en $R$. Entonces $$x=aa_i=(aa_{i_0})a_i=(a_{i_0}a)a_i=a_{i_0}(aa_i)=a_{i_0}x$$ y también $$x=a_ia=a_i(aa_{i_0})=(a_ia)a_{i_0}=xa_{i_0}.$$ Vamos a denotar este elemento $a_{i_0}$$1$. Ahora, desde el hecho de que $1$ está en $R$, $1$ puede ser escrito como $1=aa_j$ algunos $a_j\in R$. Pero, a continuación, $a$ es invertible en a $R$.

Answer 4

Simple argumentos ya han sido dadas. Hagamos uno tecnológico.

Deje $A$ ser finito integral conmutativa de dominio. Es un artinian, por lo que su radical $\mathrm{rad}(A)$ es nilpotent-en particular, la no-cero elementos de $\mathrm{rad}(A)$ son en sí mismos nilpotent: desde $A$ es un dominio, esto significa que $\mathrm{rad}(A)=0$. De ello se desprende que $A$ es semisimple, por lo que es un producto directo de la matriz de anillos sobre la división de los anillos. Se trata de un dominio, por lo que sólo puede ser uno de los factores; es conmutativa, por lo que el factor debe ser un anillo de $1\times 1$ matrices de más de una propiedad conmutativa de la división de anillo. En total, $A$ debe ser un campo.