Quiero mostrar que en un compacto metrix espacio de $X$ ,la función de $f :X \to X$ tal que $d(x,y) \le d(f(x),f(y))$ es surjective! He intentado mostrar que f es continua e inyectiva, pero no creo que realmente tiene...
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George Mic
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Aquí es una prueba para $X = [0,1]$.
Suponga que $f$ no es surjective.
Observe que $d(0,1) = 1 = \text{diam}(X)$, e $d(x,y) < 1$ para todos los otros pares de $x,y\in X$.
Para satisfacer la condición de que $d(x,y) \leq d(f(x),f(y))$ todos los $x,y \in X$, debemos tener la $d(f(0),f(1)) \geq d(0,1)$, lo $d(f(0),f(1)) = 1$.
Por lo tanto, debemos tener ese $f(0) = 0$ $f(1) = 1$ o$f(0) = 1$$f(1) = 0$.
Además, debemos tener ese $d(f(x),f(0)) = d(x,0)$ $d(f(x),f(1)) = d(x,1)$ todos los $x\in X$. De lo contrario, cualquiera de las $d(f(x),f(0)) < d(x,0)$ o $d(f(x),f(1)) < d(x,1)$.
Considere la posibilidad de que $f$ no es surjective, de modo que existe $y \in X$ tal que $f(x) \neq y$ todos los $x\in X$.
En particular, $f(y) \neq y$.
Caso 1: $f(0) = 0$ $f(1) = 1$ .
Entonces es claro que $d(f(y),f(0)) \neq d(y,0)$$d(f(y),f(1)) \neq d(y,1)$.
Caso 2: $f(0) = 1$ $f(1) = 0$ .
Si $d(y,0) \neq d(f(y),0)$$d(y,1) \neq d(f(y),1)$, hemos terminado.
Así, considere el caso donde $d(y,0) = d(f(y),0)$$d(y,1) = d(f(y),1)$. Esto significa que $f(y) = 1 - y$. A continuación, en orden a tener ese $d(f(1-y),f(0)) = d(1-y,0)$$d(f(1-y),f(1)) = d(1-y,1)$, debe ser el caso de que $f(1-y) = y$, pero ya sabes que $f(1-y) \neq y$.
Conclusión: Si $f$ no es surjective, a continuación, $d(x,y) \leq d(f(x),f(y))$ no se cumple para todos los $x,y \in X$. Teniendo en cuenta el contrapositivo, si $d(x,y) \leq d(f(x),f(y))$ todos los $x,y \in X$, $f$ debe ser surjective.
Tengo la sensación de que esto se puede generalizar para cualquier compacto métrica espacios de $X$ $x,y \in X$ donde $d(x,y) = \text{diam}(X)$.
bartgol
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Uhm, yo diría que es falso. Considere la posibilidad de $\mathbb{R}^2$ con la métrica (en (en coordenadas polares) $d(x,y) = |\rho(x)-\rho(y)| + |\theta(x)-\theta(y)|$ donde $\rho(x)$ $\theta(x)$ son las coordenadas polares de las $x$. A continuación, considere la función
$$ f(x) = g(\rho\theta) = (1000 R(\rho), \theta) $$
donde $R(\rho)$ es el truncamiento de $\rho$ a dos dígitos decimales significativos. Por ejemplo, en notación científica, $R(\pi)=0.31e02$$R(0.000123)=0.12e-03$. Entonces
$$ d(f(x),f(y)) = d(g(\rho(x),\theta(x)),g(\rho(y),\theta(y)))\\ = 1000|R(\rho(x))-R(\rho(y))| + |\theta(x)-\theta(y)| $$
Ahora, es fácil ver que $d(f(x),f(y))\geq d(x,y)$. Sin embargo, la imagen de $f$ no contiene ningún punto cuya distancia al origen es un número irracional, por lo que no puede ser surjective.
Edit: se me pasó el "pacto" en su pregunta. Sin embargo, se puede considerar cerrado el balón de cualquier radio de $a$, y modificar $f$ a
$$ f(x) = g(\rho\theta) = (\min\{1000 R(\rho),\}, \theta) $$
Todavía, $f$ echaría de menos a todos los puntos dentro de la bola cuya distancia al origen es irracional.
